Олимпиадные задачи из источника «2014 год» для 11 класса
Поверхность выпуклого многогранника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub> состоит из восьми треугольных граней <i>A<sub>i</sub>B<sub>j</sub>C<sub>k</sub></i>, где <i>i, j, k</i> меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке <i>O</i> касается всех этих граней. Докажите, что точка <i>O</i> и середины трёх отрезков <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub&g...
У повара в подчинении десять поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнает количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней понять, кто из поварят дружит между собой, а кто нет?
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается <i>n</i> единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из <i>n</i> единиц и двоек.
Найдите все такие <i>a</i> и <i>b</i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64729/problem_64729_img_2.gif"> и при всех <i>x</i> выполнено неравенство |<i>a</i> sin <i>x</i> + <i>b</i> sin 2<i>x</i>| ≤ 1.
Существует ли такой квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> с целыми коэффициентами и <i>a</i>, не кратным 2014, что все числа <i>f</i>(1), <i>f</i>(2), ..., <i>f</i>(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?
В королевстве некоторые пары городов соединены железной дорогой. У короля есть полный список, в котором поименно перечислены все такие пары (каждый город имеет свое собственное имя). Оказалось, что для любой упорядоченной пары городов принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, а король не заметил бы изменений. Верно ли, что для любой пары городов принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, второй город оказался названным именем первого города, а король не заметил бы изменений?
Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно <i>n</i> исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от 1 до 99999999 можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее <i>n</i>, при котором это возможно?
На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> с центром <i>O</i> отмечены такие точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, что ∠<i>AOP</i> = ∠<i>COQ</i> = ∠<i>ABC</i>.
а) Докажите, что ∠<i>ABP</i> = ∠<i>CBQ</i>.
б) Докажите, что прямые <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?
Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?
Дан треугольник <i>ABC</i>. Обозначим через <i>M</i> середину стороны <i>AC</i>, а через <i>P</i> – середину отрезка <i>CM</i>. Описанная окружность треугольника <i>ABP</i> пересекает сторону <i>BC</i> во внутренней точке <i>Q</i>. Докажите, что ∠<i>ABM</i> = ∠<i>MQP</i>.
Найдите все значения <i>a</i>, для которых найдутся такие <i>x, y</i> и <i>z</i>, что числа cos <i>x</i>, cos <i>y</i> и cos <i>z</i> попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа cos(<i>x + a</i>), cos(<i>y + a</i>) и cos(<i>z + a</i>) также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i><sup>2</sup> + <i>bx + c</i> принимает в точках <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> и <i>c</i> значения разных знаков.
Докажите, что корни трёхчлена <i>f</i>(<i>x</i>) имеют разные знаки.
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) удовлетворяет условиям: <i>P</i>(0) = 1, (<i>P</i>(<i>x</i>))² = 1 + <i>x + x</i><sup>100</sup><i>Q</i>(<i>x</i>), где <i>Q</i>(<i>x</i>) – некий многочлен.
Докажите, что коэффициент при <i>x</i><sup>99</sup> в многочлене (<i>P</i>(<i>x</i>) + 1)<sup>100</sup> равен нулю.