Олимпиадные задачи из источника «1967 год» для 2-9 класса
Рассматриваются всевозможные<i>n</i>-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется<i>n</i>-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.
Можно ли расставить на окружности числа1, 2...12 так, чтобы разность между двумя рядом стоящими числами была 3, 4 или 5?
Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i> клеток и такие натуральные числа <i>k</i> и <i>m > k</i>, что <i>m</i> и <i>n – k</i> взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>k</sub>, a</i><sub><i>k</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub>, a</i><sub><i>m</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: <i>a</i><sub><i>m</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub>, a</i><sub><i>...
Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.
Задано такое натуральное число <i>A</i>, что для любого натурального <i>N</i>, делящегося на <i>A</i>, число <img width="22" height="18" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_2.gif"> тоже делится на <i>A</i>. (<img width="22" height="18" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_2.gif"> – число, состоящее из тех же цифр, что и <i>N</i>, но записанных в обратном порядке; например, <img width="36" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_3.gif">...
Дана последовательность целых положительных чисел<i>X</i><sub>1</sub>,<i>X</i><sub>2</sub>...<i>X</i><sub>n</sub>, все элементы которой не превосходят некоторого числа<i>M</i>. Известно, что при всех<i>k</i>> 2<i>X</i><sub>k</sub>= |<i>X</i><sub>k - 1</sub>-<i>X</i><sub>k - 2</sub>|. Какой может быть максимальная длина этой последовательности?
Число <i>Y</i> получается из натурального числа <i>X</i> некоторой перестановкой его цифр. Известно, что <i>X + Y</i> = 10<sup>200</sup>. Доказать, что <i>X</i> делится на 50.
Семь школьников решили за воскресенье обойти семь кинотеатров. Во всех них сеансы начинаются в 9.00, 10.40, 12.20, 14.00, 15.40, 17.20, 19.00 и 20.40 (8 сеансов). На каждый сеанс шестеро шли вместе, а кто-нибудь один (не обязательно один и тот же) шел в другой кинотеатр. К вечеру каждый побывал в каждом кинотеатре. Докажите, что в каждом кинотеатре был сеанс, на котором не был ни один из этих школьников.
На каждой стороне прямоугольного треугольника построено по квадрату (пифагоровы штаны), и вся фигура вписана в круг. Для каких прямоугольных треугольников это можно сделать?
Обозначим через <i>d</i>(<i>N</i>) число делителей <i>N</i> (числа 1 и <i>N</i> также считаются делителями). Найти все такие <i>N</i>, что число <i>P</i> = <img width="36" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78619/problem_78619_img_2.gif"> – простое.
В четырёх заданных точках на плоскости расположены прожекторы, каждый из которых может освещать прямой угол. Стороны этих углов могут быть направлены на север, юг, запад или восток. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю плоскость.
Число <i>y</i> получается из натурального числа <i>x</i> некоторой перестановкой его цифр. Докажите, что каково бы ни было <i>x</i>, <img align="middle" src="/storage/problem-media/78617/problem_78617_img_2.gif">
Доказать, что существует число<i>q</i>такое, что в десятичной записи числа<i>q</i><sup> . </sup>2<sup>1000</sup>нет ни одного нуля.
Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?
В треугольнике<i>ABC</i>проведены высоты<i>AE</i>,<i>BM</i>и<i>CP</i>. Известно, что<i>EM</i>параллельна<i>AB</i>и<i>EP</i>параллельна<i>AC</i>. Докажите, что<i>MP</i>параллельна<i>BC</i>.
Из первых <i>k</i> простых чисел 2, 3, 5, ..., <i>p<sub>k</sub></i> (<i>k</i> > 5) составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например, 3·5, 3·7·... ·<i>p<sub>k</sub></i>, 11 и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через <i>S</i>. Доказать, что <i>S</i> + 1 разлагается в произведение более 2<i>k</i> простых сомножителей.
Доказать, что уравнение 19<i>x</i>³ – 17<i>y</i>³ = 50 не имеет решений в целых числах.
В квадрате расположено<i>K</i>точек (<i>K</i>> 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?
Чему равна максимальная разность между соседними числами из числа тех, сумма цифр которых делится на 7?
Остап Бендер организовал в городе Фуксе раздачу слонов населению. На раздачу явились 28 членов профсоюза и 37 не членов, причём Остап раздавал слонов поровну всем членам профсоюза и поровну – не членам. Оказалось, что существует лишь один способ такой раздачи (так, чтобы раздать всех слонов). Какое наибольшее число слонов могло быть у О. Бендера? (Предполагается, что каждому из пришедших достался хотя бы один слон.)
Дан треугольник <i>ABC</i>. Найти геометрическое место таких точек <i>M</i>, что треугольники <i>ABM</i> и <i>BCM</i> – равнобедренные.
Для зашифровки телеграфных сообщений требуется разбить всевозможные десятизначные "слова" – наборы из десяти точек и тире – на две группы так, чтобы каждые два слова одной группы отличались не менее чем в трёх разрядах. Указать способ такого разбиения или доказать, что его не существует.
Существуют ли два таких последовательных натуральных числа, что сумма цифр каждого из них делится на 125?
Найти наименьшую пару таких чисел или доказать, что их не существует.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Найдите на прямой<i>AB</i>точку <i>M</i>, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников<i>ACM</i>и<i>BCM</i>была бы наименьшей.