Олимпиадные задачи из источника «1963 год» для 8 класса
Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество: <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).
<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>,<i>D'</i>,<i>E'</i>— середины сторон выпуклого пятиугольника<i>ABCDE</i>. Доказать, что площади пятиугольников<i>ABCDE</i>и<i>A'B'C'D'E'</i>связаны соотношением:<div align="CENTER"> <i>S</i><sub>A'B'C'D'E'</sub>$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$<i>S</i><sub>ABCDE</sub>. </div>
На листе бумаги нанесена сетка из<i>n</i>горизонтальных и<i>n</i>вертикальных прямых. Сколько различных замкнутых 2<i>n</i>-звенных ломаных можно провести по линиям сетки так, чтобы каждая ломаная проходила по всем горизонтальным и всем вертикальным прямым?
Доказать, что при нечётном <i>n</i> > 1 уравнение <i>x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup></i> не может иметь решений в целых числах, для которых <i>x + y</i> – простое число.
По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора1, 2,..., 1963, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?
Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.
В таблицу 8×8 вписаны все целые числа от 1 до 64. Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 5. (Соседними называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)
<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>— произвольные натуральные числа. Обозначим через<i>b<sub>k</sub></i>количество чисел из набора<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>, удовлетворяющих условию: <i>a<sub>i</sub></i>≥<i>k</i>. Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub>+ ... +<i>a<sub>n</sub></i>=<i>b</i><sub>1</sub>+<i>b</i><sub>2</sub>+ ...
Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, ..., 1963 так, чтобы сумма каждых двух выбранных чисел делилась на 26?
Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>и такая прямая<i>l</i>, пересекающая треугольник, что расстояние от неё до точки<i>A</i>равно сумме расстояний до этой прямой от точек<i>B</i>и<i>C</i>(причем<i>B</i>и<i>C</i>лежат по одну сторону от<i>l</i>). Доказать, что все такие прямые проходят через одну точку.
Завод выпускает погремушки в виде кольца с надетыми на него тремя красными и семью синими шариками. Сколько различных погремушек может быть выпущено? (Две погремушки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой только передвижением шариков по кольцу и переворачиванием.)
Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.
Лист клетчатой бумаги размером 5×<i>n</i> заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких <i>n</i> это возможно?
На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.
Решить в целых числах уравнение <i><sup>xy</sup></i>/<i><sub>z</sub> + <sup>xz</sup></i>/<i><sub>y</sub> + <sup>yz</sup></i>/<i><sub>x</sub></i> = 3.
Даны выпуклый четырёхугольник<i>ABCD</i>площади<i>s</i>и точка<i>M</i>внутри него. Точки<i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>,<i>S</i>симметричны точке<i>M</i>относительно середин сторон четырёхугольника<i>ABCD</i>. Найти площадь четырёхугольника<i>PQRS</i>.
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> – такие числа, что <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i> = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение <i>S = a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>3</sub> + ... + <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>a<sub>n</sub></i> ≤ 0
(в сумму <i>S</i> входят все возможные произведения <i>a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>,...
Имеется 200 карточек размером 1×2, на каждой из которых написаны числа +1 и -1. Можно ли так заполнить этими карточками лист клетчатой бумаги размером4×100, чтобы произведения чисел в каждом столбце и каждой строке образовавшейся таблицы были положительны? (Карточка занимает целиком две соседние клетки.)
<i>a, b, c</i> – такие три числа, что <i>a + b + c</i> = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.
Из вершины <i>B</i> произвольного треугольника <i>ABC</i> проведены вне треугольника прямые <i>BM</i> и <i>BN</i>, так что ∠<i>ABM</i> = ∠<i>CBN</i>. Точки <i>A'</i> и <i>C'</i> симметричны точкам <i>A</i> и <i>C</i> относительно прямых <i>BM</i> и <i>BN</i> (соответственно). Доказать, что <i>AC' = A'C</i>.