Олимпиадные задачи из источника «1961 год» для 4-9 класса - сложность 2-4 с решениями

В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной

1. Доказать, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.

Коля и Петя делят 2<i>n</i>+ 1 орехов,<i>n</i>$\ge$2, причём каждый хочет получать возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа).

1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.

2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха.

1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.

3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;

При втором способе Коля берёт обе средние части;

При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.

Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.

<i>a, b, p</i> – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые <i>k, l</i>, что  <i>ak + bl</i>  делится на <i>p</i>.

Дана четвёрка ненулевых чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>. Из неё получается новая<i>ab</i>,<i>bc</i>,<i>cd</i>,<i>da</i>по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, кроме случая, когда<i>a</i>=<i>b</i>=<i>c</i>=<i>d</i>= 1.

С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами<i>r</i>₁,<i>r</i>₂,<i>r</i>₃,<i>r</i>₄, причём<i>r</i>₁+<i>r</i>₃=<i>r</i>₂+<i>r</i>₄<<i>d</i>;<i>d</i>— диагональ прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.

Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78261/problem_78261_img_2.gif"></div>Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но её вершины не должны лежать на отрезках, а стороны – проходить через вершины фигуры.

Доказать, что не существует целых чисел <i>a, b, c, d</i>, удовлетворяющих равенствам:

  <i>abcd – a</i> = 1961,

  <i>abcd – b</i> = 961,

  <i>abcd – c</i> = 61,

  <i>abcd – d</i> = 1.

Дана таблица 4×4 клетки, в некоторых клетках которой поставлено по звёздочке. Показать, что можно так расставить семь звёздочек, что при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была бы хотя бы одна звёздочка. Доказать, что если звёздочек меньше, чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.

Доказать, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся такое, у которого сумма цифр делится на 11.

В квадрате<i>ABCD</i>на стороне<i>AB</i>взята точка<i>P</i>, на стороне<i>BC</i>— точка<i>Q</i>, на стороне<i>CD</i>— точка<i>R</i>, на стороне<i>DA</i>—<i>S</i>; оказалось, что фигура<i>PQRS</i>— прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник<i>PQRS</i>— либо квадрат, либо обладает тем свойством, что его стороны параллельны диагоналям квадрата.

Стороны произвольного выпуклого многоугольника покрашены снаружи. Проводится несколько диагоналей многоугольника, так, что никакие три не пересекаются в одной точке. Каждая из этих диагоналей тоже покрашена с одной стороны, т.е. с одной стороны отрезка проведена узкая цветная полоска. Доказать, что хотя бы один из многоугольников, на которые разбит диагоналями исходный многоугольник, весь покрашен снаружи.

На плоскости дано<i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три из них, то внутри треугольника<i>ABC</i>нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nбудет выпуклым.

Два отрезка натурального ряда из 1961 числа подписаны один под другим. Доказать, что каждый из них можно так переставить, что если сложить числа, стоящие одно под другим, получится снова отрезок натурального ряда.

Дана ладья, которой разрешается делать ходы только длиной в одну клетку. Доказать, что она может обойти все клетки прямоугольной шахматной доски, побывав на каждой клетке ровно один раз, и вернуться в начальную клетку тогда и только тогда, когда число клеток на доске чётно.

См.<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78240">задачу 3 для 7 класса</a>.

Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел (<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,...,<i>x</i>_n) -- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать, чему равна сумма<i>a</i>₁<i>x</i>₁+ ... +<i>a</i>_n<i>x</i>_n, где(<i>a</i>₁...<i>a</i>_n) -- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий узнает задуманный набор?

Дан треугольник<i>ABC</i>и точка<i>O</i>.<i>M</i>₁,<i>M</i>₂,<i>M</i>₃— центры тяжести треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCA</i>соответственно. Доказать, что площадь треугольника<i>M</i>₁<i>M</i>₂<i>M</i>₃равна 1/9 площади<i>ABC</i>.

На шахматной доске выбраны две клетки одинакового цвета.

Доказать, что ладья, начиная с первой, может обойти все клетки по разу, а на второй выбранной клетке побывать два раза.

Имеется 100 точек на плоскости, причём расстояние между любыми двумя из них не превосходит 1, и если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три точки из данных, то треугольник<i>ABC</i>— тупоугольный. Доказать, что можно провести такую окружность радиуса 1/2, что все данные точки лежат внутри неё или на ней самой.

Дан остроугольный треугольник<i>A</i>₀<i>B</i>₀<i>C</i>₀. Пусть точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁— центры квадратов, построенных на сторонах<i>B</i>₀<i>C</i>₀,<i>C</i>₀<i>A</i>₀,<i>A</i>₀<i>B</i>₀. С треугольником<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁делаем то же самое. Получаем треуг...

Имеется трёхзначное число <span style="text-decoration: overline;"><i>abc</i></span>, берём <span style="text-decoration: overline;"><i>cba</i></span> и вычтем из большего меньшее. Получим число  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>₁<i>b</i>₁<i>c</i>₁</span>,  сделаем с ним то же самое и т.д.

Доказать, что на каком-то шаге мы получим или число 495, или 0. Случай  <i>a</i>₁ = 0  допускается.

Доказать, что если <i>n</i> чётно, то числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i>² можно таким образом расположить в квадратную таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы.