Если одна из сторон шахматной доски равна 2, обход по периметру удовлетворяет условию. Когда длина одной из сторон чётна, то возможен обход, показанный на рисунке.

  Пусть длины обеих сторон нечётны. Каждым ходом ладья меняет цвет клетки, на которой стоит. Поэтому, если ладья возвращается в исходную клетку, то количество её ходов (то есть пройденных клеток) чётно. Но количество клеток на такой доске нечётно. Значит, обойти все клетки она не может.

Ответ задачи отсутствует