Задача
Коля и Петя делят 2n+ 1 орехов,n$\ge$2, причём каждый хочет получать возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа).
1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.
2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха.
1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.
3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;
При втором способе Коля берёт обе средние части;
При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.
Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.
Решение
Покажем, что первый способ для Коли – наиболее выгодный, а остальные 2 – наименее выгодные.
Докажем, что при первом способе дележа Коля может гарантировать себе хотя быn+1 орех, а Петя – хотя быnорехов. Тем самым при наилучших действиях каждой из сторон Коля получит ровноn+1 орех.
Стратегия Коли такова: разделить каждую из Петиных частей на две части, одна из которых содержит ровно 1 орех. В этом случае, на какие бы две части не разделил Петя исходное количество, Коля заведомо получит хотя быn+1 орех.
Стратегия Пети такова: разделить все орехи на части изnи изn+1 орехов. Легко проверить, что независимо от действий Коли Пете достанется не меньшеnорехов. Действительно, пусть a - наибольшая часть. Тогда есть частьb, для которойa+b=n+1 илиn. Но Коля получил заведомо не болееa+bорехов, значит Пете остается не менееn.
Докажем теперь, что при втором способе дележа Коля может гарантировать себе хотя быnорехов, а Петя – хотя быn+1 орех.
Действительно, стратегия Пети такова: разделить все орехи на две части: из 2n-1 и из 2 орехов. Тогда Пете останется не менееn+1 ореха.
Стратегия Коли: разделить обе Петины части примерно пополам, то есть так, чтобы число орехов в соответствующих частях либо совпадало, либо отличалось ровно на 1. Тогда Коля гарантирует себеnорехов.
При третьем способе дележа Коля гарантирует себеnорехов, а Петя –n+1 орехов. Стратегии такие же, как в первом случае.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь