Задача
Стороны произвольного выпуклого многоугольника покрашены снаружи. Проводится несколько диагоналей многоугольника, так, что никакие три не пересекаются в одной точке. Каждая из этих диагоналей тоже покрашена с одной стороны, т.е. с одной стороны отрезка проведена узкая цветная полоска. Доказать, что хотя бы один из многоугольников, на которые разбит диагоналями исходный многоугольник, весь покрашен снаружи.
Решение
Нам дан многоугольник, в котором проведены какие-то диагонали. Сотрём их и будем проводить снова, но уже по одной, по очереди.
Первая диагональ разделила многоугольник на два; каждый из них покрашен снаружи всюду, кроме диагонали. Но так как диагональ покрашена с одной стороны, ясно, что один из двух многоугольников целиком покрашен снаружи.
Проведём вторую диагональ. Если она проходит так, что не пересекает выбранного нами многоугольника, то ничего не меняется — выбранный многоугольник остается окрашенным снаружи, если же диагональ пересекает многоугольник, то она снова разбивает его на две части, одна из которых, как и раньше, окрашена снаружи.
И каждый раз, проводя новую диагональ, мы либо просто сохраняем уже имеющийся многоугольник (окрашенный снаружи), либо получаем новый — и так пока не проведём все диагонали.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь