Рассмотрим треугольникиAPSиBQP. Так какAP$\perp$BQиPS$\perp$PQ, то$\angle$APS=$\angle$BQPи$\angle$ASP=$\angle$BPQ. Аналогично,$\angle$BQP=$\angle$CRQ=$\angle$DSRи$\angle$BPQ=$\angle$CQR=$\angle$DRS. Поскольку в прямоугольнике противоположные стороны равны, то справедливы соотношения:PQ=RSиQR=PS, откуда вытекают равенства:$\triangle$BPQ=$\triangle$DRSи$\triangle$APS=$\triangle$CQR. Следовательно,AP=CR= х,BP=DR= 1 - х;AS=CQ=y,DS= ВQ= 1 - у (мы считаем здесь сторону квадрата равной 1). Выписанные соотношения верны, таким образом, для любого прямоугольникаPQRS, вписанного в квадратABCD.

Пусть теперь Р иR — любые такие точки на сторонахABиCDсоответственно, чтоAP=CR= х,BP=DR= 1 - х. Если мы выберем точкиQиSна сторонахBCиADтаким образом, чтобы выполнялись соотношения:

или
то в том и другом случае фигураPQRSбудет представлять собой прямоугольник (проверьте!). В первом случае его стороны будут параллельны диагоналям квадрата, во втором случае он сам будет квадратом. Заметим теперь, что у любого другого прямоугольника, вписанного в квадратABCD, вершины которого Р иRлежат на сторонахABиCD(соответственно), две другие вершины должны лежать на окружности, построенной на отрезкеPR, как на диаметре, — каждая на своей полуокружности. Каждая из этих полуокружностей пересекает соответствующую сторону квадрата не более, чем в двух точках; значит, больше двух прямоугольников, вписанных в квадрат, с вершинами в точках Р иR, не существует. Вместе с тем два таких прямоугольника мы уже построили выше. Тем самым утверждение доказано.

Ответ задачи отсутствует