Пусть, напротив, где-нибудь в построенной последовательности встретилась четвёрка (а,b, с,d). Покажем, что в этом случае все числа данной четвёрки положительны. Пусть сперва в четвёрке имеется одно отрицательное число, т. е. знаки в ней расположены так (с точностью до циклической перестановки):

Рассмотрим тогда первые пять шагов исследуемого процесса:Мы видим, что ни на каком шагу не получается четвёрка, содержащая одно отрицательное число (как исходная), а после пятого шага вообще все числа становятся положительными.

Заметим, что мы попутно разобрали случай двух отрицательных членов: эти случаи соответствуют второму и третьему шагам разобранного примера (отрицательные числа стоят в четвёрке рядом или не рядом). Мы видели, что и в этих случаях повторения не возникает. Случай четырёх отрицательных чисел также разобран (четвёртый шаг примера). Осталось рассмотреть тот случай, когда лишь одно число в четвёрке положительно:

-->Рассмотрим теперь произведение чисел каждой четвёрки. У первой четвёрки оно равноabcd, у второй(abcd)², у третьей(abcd)⁴. Вообще уn -й четвёрки произведение чисел равно(abcd)^{2n - 1}. Пусть теперь какие-то две различные четвёрки — с номерамиkиl — совпадают. Отсюда следует, что(abcd)^{2k - 1}= (abcd)^{2l - 1}и, значит,abcd= 1.

Рассмотрим далее любую четвёркуm,n, р,qиз нашей последовательности. Произведение её чисел равно, как мы видели, 1:mnрq= 1. Из двух положительных чиселmn> 0 и рq> 0, произведение которых равно 1, одно, очевидно, должно быть не больше 1, а другое — не меньше 1. Пусть, для определённости,mn=$\alpha$$\ge$1,рq=$\displaystyle {\frac{1}{\alpha}}$$\displaystyle \le$1. Точно так же обстоит дело с числамиnр иmq. Пустьnр =$\beta$$\ge$1,mq=$\displaystyle {\frac{1}{\beta}}$$\displaystyle \le$1 и пусть, для определённости,$\alpha$$\ge$$\beta$. Рассмотрим следующие три четвёрки:

m	n	p	q
mn = $\alpha$	np = $\beta$	pq = $\displaystyle {\frac{1}{\alpha}}$	mq = $\displaystyle {\frac{1}{\beta}}$
$\alpha$$\beta$	$\displaystyle {\frac{\beta}{\alpha}}$	$\displaystyle {\frac{1}{\alpha\beta}}$	$\displaystyle {\frac{\alpha}{\beta}}$
$\beta^{2}_{}$	$\displaystyle {\frac{1}{\alpha^{2}}}$	$\displaystyle {\frac{1}{\beta^{2}}}$	$\alpha^{2}_{}$.

В последней четвёрке наибольшее число равно, очевидно,$\alpha^{2}_{}$, что не меньше$\alpha$, так как$\alpha$$\ge$1. В предыдущей четвёрке наибольшее число равно$\alpha$$\beta$, что также не меньше$\alpha$.

Мы видим, что наибольшее число в четвёрке с каждым шагом увеличивается, если$\alpha$$\ne$1 и$\beta$$\ne$1.

Пусть теперь первая четвёрка совпала с некоторой четвёркойx,y,z,v. Если это — вторая четвёрка, то мы имеем:a=x=ab,b= у -bc, с =z=cd,d=v=ad, откудаb=c=d=a=l. Если же это — любая другая четвёрка, то, как мы видели, начиная со второй, четвёрки, наибольшее число в четвёрке увеличивается, если$\alpha$$\ne$1 и$\beta$$\ne$1. Допустить увеличения этого наибольшего числа мы не можем, так как в итоге у насдолжнаполучиться четвёрка,равнаяисходной. Следовательно,$\alpha$= 1,$\beta$= 1, и, начиная со второй,всечетвёрки состоят из единиц,в том числе и та четвёрка, которая совпадает с первой. Тем самым утверждение доказано.

Ответ задачи отсутствует