Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур»
10 класс, 2 тур
НазадДан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2<sup>k</sup>. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2<sup>k</sup>-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д.
Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.
Расстояние от фиксированной точки<i>P</i>плоскости до двух вершин<i>A</i>,<i>B</i>равностороннего треугольника<i>ABC</i>равны<i>AP</i>= 2;<i>BP</i>= 3. Определить, какое максимальное значение может иметь отрезок<i>PC</i>.
В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной
- Доказать, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i><sub>1</sub>...</td> <td align="CENTER"><i>a</i><sub>n</sub></td> <td align="LEFT">...</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>b</i><sub>1</sub>...</td> <td align="CENTER"><i>b</i><sub>n</sub></td> <td align="LEFT">...</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>c</i><sub>1</sub&...
В клетки таблицы <i>m×n</i> вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.