S_{$\scriptstyle \triangle$ABC}=$\left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]}\right.$$\left[\vphantom{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}}\right.$$\overrightarrow{BA}$,$\overrightarrow{BC}$$\left.\vphantom{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}}\right]$$\left.\vphantom{\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]}\right\vert$=$\left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}\right]}\right.$$\left[\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}}\right.$$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$$\left.\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}}\right]$$\left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}\right]}\right\vert$. АналогичноS_{$\scriptstyle \triangle$M1M2M3}=$\left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}\right]}\right.$$\left[\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}}\right.$$\overrightarrow{OM_2}$-$\overrightarrow{OM_1}$,$\overrightarrow{OM_3}$-$\overrightarrow{OM_2}$$\left.\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}}\right]$$\left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}\right]}\right\vert$. При этом$\overrightarrow{OM_1}$=${\frac{1}{3}}$($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OO}$) =${\frac{1}{3}}$($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$), поскольку радиус-вектор центра масс треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника. Аналогично$\overrightarrow{OM_2}$=${\frac{1}{3}}$($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$),$\overrightarrow{OM_3}$=${\frac{1}{3}}$($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$). Тогда,$\overrightarrow{OM_2}$-$\overrightarrow{OM_1}$=${\frac{1}{3}}$($\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}$),$\overrightarrow{OM_3}$-$\overrightarrow{OM_2}$=${\frac{1}{3}}$($\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OB}$). А значит,S_{$\scriptstyle \triangle$M1M2M3}=$\left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}\right]}\right.$$\left[\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}}\right.$$\overrightarrow{OM_2}$-$\overrightarrow{OM_1}$,$\overrightarrow{OM_3}$-$\overrightarrow{OM_2}$$\left.\vphantom{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}}\right]$$\left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_3}- \overrightarrow{OM_2}\right]}\right\vert$=${\frac{1}{9}}$$\left\vert\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}\right]}\right.$$\left[\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}}\right.$$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$$\left.\vphantom{\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}}\right]$$\left.\vphantom{\left[\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OC}\right]}\right\vert$=${\frac{1}{9}}$S_{$\scriptstyle \triangle$ABC}, что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует