Олимпиадные задачи из источника «1952 год» для 9 класса - сложность 2-4 с решениями
Докажите, что ни при каком целом <i>A</i> многочлен 3<i>x</i><sup>2<i>n</i></sup> + <i>Ax</i><sup><i>n</i></sup> + 2 не делится на многочлен 2<i>x</i><sup>2<i>m</i></sup> + <i>Ax</i><sup><i>m</i></sup> + 3.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> ∠<i>ABC</i> = 20°. На равных сторонах <i>CB</i> и <i>AB</i> взяты соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что ∠<i>PAC</i> = 50° и ∠<i>QCA</i> = 60°.
Докажите, что ∠<i>PQC</i> = 30°.
Решить систему уравнений: <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> = <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> = ... = <i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x<sub>n</sub> = x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 1.
99 прямых разбивают плоскость на<i>n</i>частей. Найдите все возможные значения<i>n</i>, меньшие 199.
Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Докажите, что ни одно семизначное число, составленное посредством этих жетонов, не делится на другое.
Из точки <i>C</i> проведены касательные <i>CA</i> и <i>CB</i> к окружности <i>O</i>. Из произвольной точки <i>N</i> окружности опущены перпендикуляры <i>ND, NE, NF</i> соответственно на прямые <i>A, CA</i> и <i>CB</i>. Докажите, что <i>ND</i> есть среднее геометрическое чисел <i>NE</i> и <i>NF</i>.
Дан отрезок <i>AB</i>. Найдите геометрическое место вершин <i>C</i> остроугольных треугольников <i>ABC</i>.
Докажите, что если квадрат числа начинается с 0,999...9 (100 девяток), то и само число начинается с 0,999...9 (100 девяток).
Для выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>соблюдено условие:<i>AB</i>+<i>CD</i>=<i>BC</i>+<i>DA</i>. Докажите, что окружность, вписанная в$\Delta$<i>ABC</i>, касается окружности, вписанной в$\Delta$<i>ACD</i>.
Если при любом положительном <i>p</i> все корни уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c + p</i> = 0 действительны и положительны, то коэффициент <i>a</i> равен нулю. Докажите.
Докажите, что 2<sup><i>n</i></sup> > (1 – <i>x</i>)<sup><i>n</i></sup> + (1 + <i>x</i>)<sup><i>n</i></sup> при целом <i>n</i> ≥ 2 и |<i>x</i>| < 1.
Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом:<i>a</i><sub>1</sub>— произвольное трёхзначное число,<i>a</i><sub>2</sub>— сумма квадратов его цифр,<i>a</i><sub>3</sub>— сумма квадратов цифр числа<i>a</i><sub>2</sub>и т.д. Докажите, что в последовательности<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,<i>a</i><sub>3</sub>, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.
Два человека <i>A</i> и <i>B</i> должны попасть как можно скорее из пункта <i>M</i> в пункт <i>N</i>, расположенный в 15 км от <i>M</i>. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. <i>A</i> отправляется в путь пешком, а <i>B</i> едет на велосипеде до встречи с пешеходом <i>C</i>, идущим из <i>N</i> и <i>M</i>. Дальше <i>B</i> идёт пешком, а <i>C</i> едет на велосипеде до встречи с <i>A</i> и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в <i>N</i>. Когда должен выйти из <i>N</i> пешеход <i>C</i>, чт...
Докажите, что если ортоцентр делит высоты треугольника в одном и том же отношении, то этот треугольник — правильный.
Два человека <i>A</i> и <i>B</i> должны попасть из пункта <i>M</i> в пункт <i>N</i>, расположенный в 15 км от <i>M</i>. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. <i>A</i> отправляется в путь пешком, а <i>B</i> едет на велосипеде до встречи с пешеходом <i>C</i>, идущим из <i>N</i> и <i>M</i>. Дальше <i>B</i> идёт пешком, а <i>C</i> едет на велосипеде до встречи с <i>A</i> и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в <i>N</i>. Когда должен выйти из <i>N</i> пешеход <i>C</i>, чтобы <i>A<...