Олимпиадные задачи из источника «7,8 класс, 1 тур»

Точка<i>O</i>является точкой пересечения высот остроугольного треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что 3 окружности, проходящие: первая через точки<i>O</i>,<i>A</i>,<i>B</i>, вторая — через точки<i>O</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и третья — через точки<i>O</i>,<i>C</i>,<i>A</i>, равны между собой.

Дан выпуклый пятиугольник<i>ABCDE</i>. Сторонами, противоположными вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>, мы называем соответственно отрезки<i>CD</i>,<i>DE</i>,<i>EA</i>,<i>AB</i>,<i>BC</i>. Докажите, что если произвольную точку<i>M</i>, лежащую внутри пятиугольника, соединить прямыми со всеми его вершинами, то из этих прямых либо ровно одна, либо ровно три, либо ровно пять пересекают стороны пятиугольника, противоположные вершинам, через которые они проходят.

Докажите, что каково бы ни было целое число <i>n</i>, среди чисел <i>n,  n</i> + 1,  <i>n</i> + 2,  <i>n</i> + 3,  <i>n</i> + 4  есть хотя бы одно число взаимно простое с остальными четырьмя из этих чисел.

Какой остаток даёт  <i>x + x</i>³ + <i>x</i>⁹ + <i>x</i>²⁷ + <i>x</i>⁸¹ + <i>x</i>²⁴³  при делении на  <i>x</i> – 1?

Определить коэффициенты, которые будут стоять при <i>x</i>¹⁷ и <i>x</i>¹⁸ после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении <div align="CENTER">(1 + <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁷)²⁰. </div>