Ответ:(k,p) = (1, 1), (4, 2) или (7, 3).

Сначала докажем, чтоp$\le$3. Предположим, чтоp$\ge$4. Возьмём треугольник$\Delta_{1}^{}$. К его вершинеAпримыкает треугольник$\Delta_{2}^{}$. К вершинеB$\ne$Aтреугольника$\Delta_{2}^{}$примыкают треугольники$\Delta_{3}^{}$,$\Delta_{4}^{}$,$\Delta_{5}^{}$; все они отличны от$\Delta_{1}^{}$, поскольку иначе треугольники$\Delta_{1}^{}$и$\Delta_{2}^{}$имели бы две общие вершины. По условию каждый из треугольников$\Delta_{3}^{}$,$\Delta_{4}^{}$,$\Delta_{5}^{}$имеет общую вершину с треугольником$\Delta_{1}^{}$, причём эта вершина отлична отA. Но из этого следует, что два из треугольников$\Delta_{3}^{}$,$\Delta_{4}^{}$,$\Delta_{5}^{}$имеют общую вершину, отличную отB.

Еслиp= 1, тоk= 1 (если бы было хотя бы 2 треугольника, то они имели бы общую вершину, а тогдаp$\ge$2).

Пусть в каждой вершине сходятсяp$\ge$2 треугольников. Фиксируем один из треугольников. К каждой его вершине примыкаетp- 1 треугольников, т.е. всего к нему примыкает 3(p- 1) треугольников. Все эти треугольники различны, и других треугольников нет, поскольку любые два треугольника должны иметь общую вершину. Значит, всего получаем3(p- 1) + 1 = 3p- 2 треугольников.

Чтобы построить конфигурацию, для которой(k,p) = (4, 2), можно взять октаэдр и выбросить половину его граней, оставив только треугольники, не имеющие общих сторон. Чтобы построить конфигурацию, для которой(k,p) = (7, 3), можно взять тетраэдр, поместить внутрь его треугольникABCи для каждой вершины треугольникаABCвзять треугольник, образованный этой вершиной и одним из двух несмежных рёбер тетраэдра (для каждой вершины треугольникаABCберётся своя пара несмежных рёбер тетраэдра).

Ответ задачи отсутствует