Задача
Внутри квадратаA1A2A3A4лежит выпуклый четырёхугольникA5A6A7A8. ВнутриA5A6A7A8выбрана точкаA9. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что можно выбрать из них 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.
Решение
Предположим, что требуемого выпуклого пятиугольника нет. Проведём из точкиA9лучи через точкиA5,A6,A7,A8. Эти лучи разбивают плоскость на 4 угла, каждый из которых меньше180o. Если внутри одного из этих углов лежат две из точекA1,A2,A3,A4, то мы немедленно получаем требуемый пятиугольник. Поэтому внутри каждого из этих углов лежит ровно одна из указанных точек. Но тогда внутри каждого из двух углов, образованных лучамиA9A5иA9A7, лежат две из указанных точек. Рассмотрев тот из углов, который меньше180o, снова получаем требуемый пятиугольник.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь