Назад

Олимпиадная задача Паровяна А. по планиметрии: треугольник, точки и отношение сторон

Задача 198128 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты,  AC > AB.  На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что  AB = AE = BD.

Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как  3 : 4 : 5.

Решение

  Заметим, что точка D симметрична A относительно биссектрисы BF угла B.

  Пусть  AB = 6,  AC = 8,  BC = 10.  Биссектриса BF делит AC в отношении  3 : 5,  значит,  AF = 3.  Следовательно,  AF = FE = FD,  и D лежит на окружности радиуса 3 с диаметром AE.   Пусть угол ADE прямой.   Первый способ. Пусть  CE = 1,  F – середина AD. Тогда прямоугольные треугольники BFA и ADE равны (по гипотенузе и острому углу), поэтому  AD = 2DE.  Кроме того,  DE || BF  (обе прямые перпендикулярны AD), поэтому треугольники CDE и CAD подобны. Значит,  AC : CD = CD : CE = AD : DE = 2 : 1,  откуда

CD = 2,  AC = 4,  AB = AE = 3.

  Второй способ. Зафиксируем точки A, B и E так, что  AB = AE = 3,  ∠ABE = 90°.  Точка D – пересечение окружности радиуса 3 с центром в B и окружности с диаметром AE (рис. справа). Поэтому она, а значит, и точка C определена однозначно. Выше показано, что  AC = 4  подходит, поэтому других вариантов нет.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет