Олимпиадная задача о делении шоколадок между школьниками — дроби, делимость, 8-9 класс

  б) Расположим m шоколадок одну за другой в одну линию и разрежем получившуюся шоколадную полосу равномерно на n равных частей. Будем считать, что длина шоколадки равна n. Каждый школьник должен получить порцию длины m. Если  n ≤ m,  то длина порции будет не меньше n. Следовательно, по каждой шоколадке пройдёт не более одного разреза.

  Пусть  n = m + d,  где d – делитель m. В этом случае длина порции равна  n – d.  При описанном способе раздела каждая шоколадка делится на части длины, кратной d, значит, расстояние от линии разреза до края шоколадки не меньше d. Два разреза, проходящие по одной шоколадке, вырезали бы из неё часть, не большую  n – 2d,  что меньше порции. Значит, каждая шоколадка окажется разрезанной не более одного раза.

  Докажем, что других пар  (n, m)  нет.   Первый способ. Пусть  n = m + d  и удалось разделить шоколадки с соблюдением условий. Докажем, что длины всех кусочков, а следовательно, и m кратны d. Пусть это не так. Рассмотрим кусок наименьшей длины r, не кратной d. Тогда есть кусок длины  n – r.  Тот, кто его получил, также получил кусок длины, не большей  m – (n– r) < r,  не кратный d.  Противоречие.   Второй способ. Рассмотрим граф, вершины которого соответствуют школьникам, а ребра соединяют двух школьников, получивших куски от одной шоколадки. Пусть компонента связности этого графа имеет n' вершин и m' ребер. Это значит, что m' шоколадок распределено между n' школьниками, то есть  ^m'/_n' = ^m/_n,  или  m = dm',  n = dn',  где d – рациональное число. С другой стороны, в силу связности  m' ≥ n' – 1.  Поскольку  m' < n',  то  n' = m' + 1,  то есть  n = m + d.  Отсюда ясно, что d – целое и m кратно d.

а) При n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18;   б) при  n ≤ m  или когда  m < n и делится на  n – m.