Олимпиадные задачи из источника «выпуск 7»
выпуск 7
НазадДаны три треугольника: <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>3</sub>, <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub>. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида <i>A<sub>i</sub>B<sub>j</sub>C<sub>k</sub></i>, где <i>i, j, k</i> независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что...
Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i>, заполненная числами по следующему правилу: в клетке, стоящей в <i>i</i>-й строке и <i>j</i>-м столбце таблицы записано число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98139/problem_98139_img_2.gif"> В таблице зачеркнули <i>n</i> чисел таким образом, что никакие два зачёркнутых числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма зачёркнутых чисел не меньше 1.
Пусть в прямоугольном треугольнике <i>AB</i> и <i>AC</i> – катеты, <i>AC > AB</i>. На <i>AC</i> выбрана точка <i>E</i>, а на <i>BC</i> – точка <i>D</i> так, что <i>AB = AE = BD</i>.
Докажите, что треугольник <i>ADE</i> прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника <i>ABC</i> относятся как 3 : 4 : 5.
<i>n</i> чисел (<i>n</i> > 1) называются <i>близкими</i>, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на <i>n</i> – 1. Пусть <i>a, b, c, ... – n</i> близких чисел, <i>S</i> – их сумма. Докажите, что
а) все они положительны;
б) <i>a + b > c</i>;
в) <i>a + b > <sup>S</sup></i>/<sub><i>n</i>–1</sub>.