Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Геометрические места точек» для 3-8 класса - сложность 2 с решениями
глава 7. Геометрические места точек
НазадНа плоскости даны четыре точки. Найдите множество центров прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми, проходящими соответственно через данные точки.
Точка <i>P</i>перемещается по описанной окружности квадрата <i>ABCD</i>. Прямые <i>AP</i>и <i>BD</i>пересекаются в точке <i>Q</i>, а прямая, проходящая через точку <i>Q</i>параллельно <i>AC</i>, пересекает прямую <i>BP</i>в точке <i>X</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>.
На окружности фиксированы точки <i>A</i>и <i>B</i>, а точка <i>C</i>перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников <i>ABC</i>.
Даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Две окружности касаются прямой <i>AB</i>(одна — в точке <i>A</i>, другая — в точке <i>B</i>) и касаются друг друга в точке <i>M</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>.
Найдите геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.
Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла <i>ABC</i>. По какой траектории движется середина этого отрезка?
На плоскости даны точки <i>A</i>и <i>B</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых разность квадратов длин отрезков <i>AM</i>и <i>BM</i>постоянна.
Дан прямоугольник <i>ABCD</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, для которых <i>AX</i>+<i>BX</i>=<i>CX</i>+<i>DX</i>.
Даны две прямые, пересекающиеся в точке <i>O</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, для которых сумма длин проекций отрезков <i>OX</i>на эти прямые постоянна.
Два колеса радиусов <i>r</i><sub>1</sub>и <i>r</i><sub>2</sub>катаются по прямой <i>l</i>. Найдите множество точек пересечения <i>M</i>их общих внутренних касательных.
Стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> площади <i>S</i> не параллельны.
Найдите геометрическое место точек <i>X</i>, лежащих внутри четырёхугольника, для которых <i>S<sub>ABX</sub> + S<sub>CDX</sub> = <sup>S</sup></i>/<sub>2</sub>.