Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. ГМТ - прямая или отрезок» - сложность 3 с решениями

а) Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Докажите, что величина <i>AX</i>²+<i>CX</i>²-<i>BX</i>²-<i>DX</i>²не зависит от выбора точки <i>X</i>. б) Четырехугольник <i>ABCD</i>не является параллелограммом. Докажите, что все точки <i>X</i>, удовлетворяющие соотношению <i>AX</i>²+<i>CX</i>²=<i>BX</i>²+<i>DX</i>², лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.

Внутри окружности взята точка <i>A</i>. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, содержащих точку <i>A</i>.

Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, делящих пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально противоположных точках).

Даны окружность <i>S</i>и точка <i>M</i>вне ее. Через точку <i>M</i>проводятся всевозможные окружности <i>S</i>₁, пересекающие окружность <i>S</i>; <i>X</i> — точка пересечения касательной в точке <i>M</i>к окружности <i>S</i>₁с продолжением общей хорды окружностей <i>S</i>и <i>S</i>₁. Найдите ГМТ <i>X</i>.

Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, лежащих внутри ромба <i>ABCD</i>и обладающих тем свойством, что $\angle$<i>AMD</i>+$\angle$<i>BMC</i>= 180^<tt>o</tt>.