Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 4-8 класса - сложность 1-3 с решениями

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены отрезки <i>PQ</i>и <i>RS</i>, параллельные стороне <i>AC</i>, и отрезок <i>BM</i>(рис.). Трапеции <i>RPKL</i>и <i>MLSC</i>описанные. Докажите, что трапеция <i>APQC</i>тоже описанная.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57016/problem_57016_img_2.gif" border="1"></div>

Углы при основании <i>AD</i>трапеции <i>ABCD</i>равны 2$\alpha$и 2$\beta$. Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда <i>BC</i>/<i>AD</i>=<i>tg</i>$\alpha$<i>tg</i>$\beta$.

Четырехугольник <i>ABCD</i>описан около окружности с центром <i>O</i>. В треугольнике <i>AOB</i>проведены высоты <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁, а в треугольнике <i>COD</i> — высоты <i>CC</i>₁и <i>DD</i>₁. Докажите, что точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁лежат на одной прямой.

Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны.

Четырехугольник <i>ABCD</i>описан около окружности с центром <i>O</i>. Докажите, что $\angle$<i>AOB</i>+$\angle$<i>COD</i>= 180^<tt>o</tt>.

Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник — ромб.

а) Докажите, что сумма углов при вершинах выпуклого <i>n</i>-угольника равна (<i>n</i>- 2)^.180^<tt>o</tt>. б) Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что количество этих треугольников равно <i>n</i>- 2.

а) Докажите, что оси симметрии правильного многоугольника пересекаются в одной точке.

б) Докажите, что правильный 2<i>n</i>-угольник имеет центр симметрии.

Докажите, что в выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>можно вписать окружность тогда и только тогда, когда <i>AB</i>+<i>CD</i>=<i>BC</i>+<i>AD</i>.

Докажите, что выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда $\angle$<i>ABC</i>+$\angle$<i>CDA</i>= 180^<tt>o</tt>.

Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

Пусть <i>О</i> – центр правильного многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A_n</i>,  <i>X</i> – произвольная точка плоскости. Докажите, что:

   a)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_2.gif">    б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_3.gif">

Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.