Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 10-11 класса - сложность 4 с решениями

Правильный пятиугольник <i>ABCDE</i>со стороной <i>a</i>вписан в окружность <i>S</i>. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной <i>b</i>(см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности <i>S</i>, равна <i>c</i>. Докажите, что <i>a</i>²+<i>b</i>²=<i>c</i>².

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57059/problem_57059_img_2.gif" border="1"></div>

В равностороннем (неправильном) пятиугольнике <i>ABCDE</i>угол <i>ABC</i>вдвое больше угла <i>DBE</i>. Найдите величину угла <i>ABC</i>.

Биссектриса угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AB</i>+<i>AC</i>$\leq$2<i>AD</i>.

Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны <i>d</i>_a,<i>d</i>_bи <i>d</i>_c. Докажите, что <i>d</i>_a+<i>d</i>_b+<i>d</i>_c=<i>R</i>+<i>r</i>.

Пусть $\alpha$=$\pi$/7. Докажите, что ${\frac{1}{\sin\alpha }}$=${\frac{1}{\sin 2\alpha }}$+${\frac{1}{\sin 3\alpha }}$.

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Четырехугольник <i>ABCD</i>выпуклый; точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁таковы, что <i>AB</i>||<i>C</i>₁<i>D</i>₁,<i>AC</i>||<i>B</i>₁<i>D</i>₁и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁тоже выпуклый, причем $\angle$<i>A</i>+$\angle$<i>C</i><sub>1<...

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.