Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Площадь» - сложность 1-3 с решениями

Точка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что   <i>S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM</i>.

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

Расстояния от точки <i>X</i>стороны <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>до прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равны <i>d</i>_bи <i>d</i>_c. Докажите, что <i>d</i>_b/<i>d</i>_c=<i>BX</i>^.<i>AC</i>/(<i>CX</i>^.<i>AB</i>).

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Дан выпуклый многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_n. На стороне <i>A</i>₁<i>A</i>₂взяты точки <i>B</i>₁и <i>D</i>₂, на стороне <i>A</i>₂<i>A</i>₃ — точки <i>B</i>₂и <i>D</i>₃и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁,...

Даны (2<i>n</i>- 1)-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_{2n - 1}и точка <i>O</i>. Прямые <i>A</i>_k<i>O</i>и <i>A</i>_{n + k - 1}<i>A</i>_{n + k}пересекаются в точке <i>B</i>_k. Докажите, что произведение отношений <i>A</i>_{n + k - 1}<i>B</i>_k/<i>A</i>_{n + k}<i>B</i>_k(<i>k</i>= 1,...,<i>n</i>) равно 1.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>; прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>и <i>CO</i>пересекают его стороны в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что: а) ${\frac{OA_1}{AA_1}}$+${\frac{OB_1}{BB_1}}$+${\frac{OC_1}{CC_1}}$= 1; б) ${\frac{AC_1}{C_1B}}$^.${\frac{BA_1}{A_1C}}$^.${\frac{CB_1}{B_1A}}$= 1.

Докажите, что длина биссектрисы <i>AD</i>треугольника <i>ABC</i>равна ${\frac{2bc}{b+c}}$cos${\frac{\alpha }{2}}$.

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>, $\varphi$ — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь <i>S</i>четырехугольника <i>ABCD</i>равна 2<i>R</i>²sin <i>A</i>sin <i>B</i>sin$\varphi$.

Диагонали четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Расстояния от точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>P</i>до прямой <i>CD</i>равны <i>a</i>,<i>b</i>и <i>p</i>. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>равна <i>ab</i>^.<i>CD</i>/2<i>p</i>.

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.

б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

Отрезок <i>MN</i>, параллельный стороне <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>, делит его площадь пополам (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>AD</i>). Длины отрезков, проведенных из точек <i>A</i>и <i>B</i>параллельно <i>CD</i>до пересечения с прямыми <i>BC</i>и <i>AD</i>, равны <i>a</i>и <i>b</i>. Докажите, что <i>MN</i>²= (<i>ab</i>+<i>c</i>²)/2, где <i>c</i>=<i>CD</i>.

На сторонах <i>AB</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены параллелограммы; <i>P</i> — точка пересечения продолжений их сторон, параллельных <i>AB</i>и <i>BC</i>. На стороне <i>AC</i>построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и параллельна <i>BP</i>. Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух параллелограммов.

Даны параллелограмм <i>ABCD</i>и некоторая точка <i>M</i>. Докажите, что <i>S</i>_ACM= |<i>S</i>_ABM±<i>S</i>_ADM|.

Каждая из сторон выпуклого четырехугольника разделена на пять равных частей и соответствующие точки противоположных сторон соединены (см. рис.). Докажите, что площадь среднего (заштрихованного) четырехугольника в 25 раз меньше площади исходного.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56772/problem_56772_img_2.gif" border="1"></div>

На стороне <i>AB</i>четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>A</i>₁и <i>B</i>₁, а на стороне <i>CD</i> — точки <i>C</i>₁и <i>D</i>₁, причем <i>AA</i>₁=<i>BB</i>₁=<i>pAB</i>и <i>CC</i>₁=<i>DD</i>₁=<i>pCD</i>, где <i>p</i>< 0, 5. Докажите, что <i>S</i>_{A₁B₁C₁D₁}/<i>S</i>_ABCD= 1 - 2&lt...

На сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что <i>AM</i>:<i>MB</i>=<i>CN</i>:<i>ND</i>. Отрезки <i>AN</i>и <i>DM</i>пересекаются в точке <i>K</i>, а отрезки <i>BN</i>и <i>CM</i> — в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>S</i>_KMLN=<i>S</i>_ADK+<i>S</i>_BCL.

Точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>параллелограмма <i>ABCD</i>, причем отрезки <i>KM</i>и <i>LN</i>параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что площади параллелограммов <i>KBLO</i>и <i>MDNO</i>равны тогда и только тогда, когда точка <i>O</i>лежит на диагонали <i>AC</i>.

а) Диагонали выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Известны площади треугольников<i>ABP</i>,<i>BCP</i>,<i>CDP</i>. Найдите площадь треугольника <i>ADP</i>. б) Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.

Диагонали четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что <i>S</i>_AOB=<i>S</i>_CODтогда и только тогда, когда <i>BC</i>||<i>AD</i>.

В прямоугольник <i>ABCD</i>вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину <i>K</i>на стороне <i>AB</i>. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника <i>ABCD</i>.