Задача
В прямоугольник ABCDвписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину Kна стороне AB. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD.
Решение
Центры всех трех прямоугольников совпадают (см. задачу 1.7), поэтому два меньших прямоугольника имеют общую диагональ KL. Пусть Mи N — вершины этих прямоугольников, лежащие на стороне BC. Точки Mи Nлежат на окружности с диаметром KL. Пусть O — центр этой окружности. O1 — проекция точки Oна BC. Тогда BO1=CO1и MO1=NO1, а значит, BM=NC. Чтобы доказать, что SKLM+SKLN=SKBCL, достаточно проверить, что (SKBM+SLCM) + (SKBN+SLCN) =SKBCL=BC(KB+CL)/2 =BC . AB/2. Остается заметить, что KB . BM+KB . BN=KB . BC, LC . CM+LC . CN=LC . BCи KB . BC+LC . BC=AB . BC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь