Олимпиадные задачи из источника «глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия» для 4-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Прямоугольник размером<i>m</i>×<i>n</i>замощен плитками, изображенными на рис. Докажите, что<i>m</i>и<i>n</i>делятся на 4.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58276/problem_58276_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что треугольник можно разбить на отрезки.

Можно ли невыпуклый четырехугольник разрезать двумя прямыми на 6 частей?

а) Докажите, что при<i>n</i>= 2<i>k</i>среди полученных фигур не более 2<i>k</i>- 1 углов. б) Может ли при<i>n</i>= 100 среди полученных фигур быть только три угла?

а) Найдите число всех полученных фигур. б) Найдите число ограниченных фигур, т. е. многоугольников.

Докажите, что при<i>n</i>= 4 среди полученных частей есть четырехугольник.

99 прямых разбивают плоскость на<i>n</i>частей. Найдите все возможные значения<i>n</i>, меньшие 199.

Докажите, что если выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то <i>ABCD</i> – трапеция или параллелограмм.

На квадратном листе бумаги нарисовано<i>n</i>прямоугольников со сторонами, параллельными сторонам листа. Никакие два из этих прямоугольников не имеют общих внутренних точек. Докажите, что если вырезать эти прямоугольники, то количество кусков, на которые распадается оставшаяся часть листа, не более<i>n</i>+ 1.

Докажите, что если<i>n</i>-угольник разрезан произвольным образом на<i>k</i>треугольников, то<i>k</i>$\ge$<i>n</i>- 2.

а) В выпуклом<i>n</i>-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на несколько многоугольников. Докажите, что у каждого из них не более<i>n</i>сторон. б) Докажите, что если<i>n</i>чётно, то у каждого из полученных многоугольников не более<i>n</i>- 1 сторон.

Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б) на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?

Разрежьте фигуру, изображенную на рис. на 4 равные части. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58228/problem_58228_img_2.gif" border="1"></div>

Разрежьте квадрат на 6 частей и сложите из них три одинаковых квадрата.

Разрежьте правильный шестиугольник на 5 частей и сложите из них квадрат.

Разрежьте правильный треугольник шестью прямыми на части и сложите из них 7 одинаковых правильных треугольников.