Пусть отрезок MN, где точки M и N лежат на сторонах AB и CD, разрезает четырёхугольник ABCD на два подобных четырёхугольника. Тогда угол AMN четырёхугольника AMND равен одному из углов четырёхугольника NMBC. С другой стороны,  ∠NMB = 180° – ∠AMN.  Поэтому если

∠AMN = ∠NMB,  то  ∠NMB = 90°,  а если угол AMN равен другому углу четырёхугольника NMBC, то в этом четырёхугольнике есть два угла, составляющих в сумме 180°. Проведя аналогичные рассуждения для угла MND, получаем, что либо  AB ⊥ MN  и  CD ⊥ MN  (и тогда

AB || CD),  либо в четырёхугольнике NMBC есть два угла, составляющие в сумме 180°; без ограничения общности можно считать, что один из них – угол BMN. Рассмотрим три случая.

  1)  ∠BMN + ∠MNC = 180°.  Тогда  BM || CN, а значит, и  AB || CD.

  2)  ∠BMN + ∠MBC = 180°.   Тогда  MN || BC. Поэтому либо  AD || MN,  либо  ND || MA.

  3)  ∠BMN + ∠BCN = 180°.  Тогда четырёхугольники NMBC и AMND вписанные. Следовательно,

∠BCN = 180° – ∠BMN  и  ∠ADN = 180° – ∠AMN = ∠BMN,  то есть  BC || AD.

Ответ задачи отсутствует