Олимпиадные задачи из источника «глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники» для 8 класса - сложность 4-5 с решениями
глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
НазадДокажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.
Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади.
Несамопрересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна<i>L</i>, а площадь многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна<i>S</i>. Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>L</i><sup>2</sup>/2$\pi$.
Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>и<i>B</i><sub>1</sub>...<i>B</i><sub>n</sub>равны, причём многоугольник<i>B</i><sub>1</sub>...<i>B</i><sub>n</sub>вписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>.
Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна<i>S</i>, а её периметр равен<i>P</i>, то<i>S</i>$\le$<i>P</i><sup>2</sup>/4$\pi$, причём равенство достигается только в случае круга (<i>изопериметрическое неравенство</i>).
а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник. б) Докажите, что среди всех выпуклых<i>n</i>-угольников<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>с данными величинами углов<i>A</i><sub>i</sub>и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный<i>n</i>-угольник.
Докажите, что если выпуклая фигура$\Phi$отлична от круга, то существует фигура$\Phi{^\prime}$, имеющая тот же периметр, что и$\Phi$, но большую площадь.
а) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами. б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками.
В окружность вписан выпуклый<i>n</i>-угольник<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников<i>A</i><sub>p</sub><i>A</i><sub>q</sub><i>A</i><sub>r</sub>есть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее<i>n</i>- 2.
Точка <i>O</i>лежит внутри выпуклого<i>n</i>-угольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>. Докажите, что среди углов<i>A</i><sub>i</sub><i>OA</i><sub>j</sub>не менее<i>n</i>- 1 не острых.
Дан выпуклый<i>n</i>-угольник, никакие две стороны которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых идет речь в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158119">22.8</a>, не менее<i>n</i>- 2.
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.
Выпуклый<i>n</i>-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники<i>ABC</i>и<i>ACD</i>заменяются на треугольники<i>ABD</i>и<i>BCD</i>. Пусть<i>P</i>(<i>n</i>) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а)<i>P</i>(<i>n</i>)$\ge$<i>n</i>- 3; б)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 7; в)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 10 при<i>n</i>$\ge$13.
Докажите, что существует такое число <i>N</i>, что среди любых <i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.
На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все <i>n</i>точек можно накрыть кругом радиуса 1.