Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Вычисления и метрические соотношения» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями
глава 12. Вычисления и метрические соотношения
НазадДиаметры <i>AB</i>и <i>CD</i>окружности <i>S</i>перпендикулярны. Хорда <i>EA</i>пересекает диаметр <i>CD</i>в точке <i>K</i>, хорда <i>EC</i>пересекает диаметр <i>AB</i>в точке <i>L</i>. Докажите, что если <i>CK</i>:<i>KD</i>= 2 : 1, то <i>AL</i>:<i>LB</i>= 3 : 1.
Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.
а) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (0, 0), (<i>x</i><sub>1</sub>,<i>y</i><sub>1</sub>) и (<i>x</i><sub>2</sub>,<i>y</i><sub>2</sub>) равна${\frac{1}{2}}$|<i>x</i><sub>1</sub><i>y</i><sub>2</sub>–<i>x</i><sub>2</sub><i>y</i><sub>1</sub>|. б) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (<i>x</i><sub>1</sub>,<i>y</i><sub>1</sub>), (<i>x</i><sub>2</sub>,<i>y</i><sub>2</sub>) и (<i>x</i><sub>3</sub>,<i>y</i><sub>3</sub>) равна<...
Докажите, что расстояние от точки (<i>x</i><sub>0</sub>,<i>y</i><sub>0</sub>) до прямой<i>ax</i>+<i>by</i>+<i>c</i>= 0 равно${\frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.
Докажите, что медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны тогда и только тогда, когда <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>= 5<i>c</i><sup>2</sup>.
Докажите, что: а) <i>m</i><sub>a</sub><sup>2</sup>= (2<i>b</i><sup>2</sup>+ 2<i>c</i><sup>2</sup>-<i>a</i><sup>2</sup>)/4; б) <i>m</i><sub>a</sub><sup>2</sup>+<i>m</i><sub>b</sub><sup>2</sup>+<i>m</i><sub>c</sub><sup>2</sup>= 3(<i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>+<i>c</i><sup>2</sup>)/4.