Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Треугольник» - сложность 3 с решениями

Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.

Докажите, что если α, β, γ и α₁, β₁, γ₁ – углы двух треугольников, то   ^{cos α₁}/_{sin α} + ^{cos β₁}/_{sin β} + ^{cos γ₁}/_{sin γ} ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.

Периметр треугольника<i>ABC</i>равен 2<i>p</i>. На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что<i>MN</i>|<i>BC</i>и<i>MN</i>касается вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Найдите наибольшее значение длины отрезка<i>MN</i>.

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.