Обозначим длину высоты, опущенной на сторонуBC, через h. Так как$\triangle$AMN$\sim$$\triangle$ABC, тоMN/BC= (h- 2r)/h, т. е.MN=a$\left(\vphantom{ 1-\frac{2r}{h} }\right.$1 -${\frac{2r}{h}}$$\left.\vphantom{ 1-\frac{2r}{h} }\right)$. Посколькуr=S/p=ah/2p, тоMN=a(1 -a/p). Максимум выраженияa(1 -a/p) =a(p-a)/pдостигается приa=p/2; он равенp/4. Остается заметить, что существует треугольник периметра 2pсо сторонойa=p/2 (положимb=c= 3p/4).

Ответ задачи отсутствует