Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Делимость-2» для 2-8 класса
глава 10. Делимость-2
НазадНайти все пары целых чисел (<i>x, y</i>), удовлетворяющие уравнению 3·2<sup><i>x</i></sup> + 1 = <i>y</i>².
Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Найти остаток от деления на 7 числа 10<sup>10</sup> + 10<sup>10<sup>2</sup></sup> + 10<sup>10<sup>3</sup></sup> + ... + 10<sup>10<sup>10</sup></sup>.
Сумма трёх чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> делится на 30. Докажите, что <i>a</i><sup>5</sup> + <i>b</i><sup>5</sup> + <i>c</i><sup>5</sup> также делится на 30.
Пусть <i>ka ≡ kb</i> (mod <i>kn</i>). Тогда <i>a ≡ b</i> (mod <i>n</i>).
Пусть <i>ka ≡ kb</i> (mod <i>m</i>), <i>k</i> и <i>m</i> взаимно просты. Тогда <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>).
Решите уравнение <i>x</i>² – 5<i>y</i>² = 1 в целых числах.
Решите в натуральных числах уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².
Решите уравнение в целых числах: <i>x</i>³ + 3 = 4<i>y</i>(<i>y</i> + 1).
Докажите, что уравнение <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> – <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда <i>n</i> – простое число.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² – <i>y</i>² = 1988.
Решить в целых числах уравнение <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i></sub> = 1.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 8<i>t</i> – 1.
Решить в целых числах уравнение 15<i>x</i>² – 7<i>y</i>² = 9.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>³ + 21<i>y</i>² + 5 = 0.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² – 7<i>y</i> = 10.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² = 4<i>z</i> – 1.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>x + y</i> + 2.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² = 14 + <i>y</i>².
Решить в целых числах уравнение <i>xy = x + y</i> + 3.
Решить в целых числах уравнение (2<i>x + y</i>)(5<i>x</i> + 3<i>y</i>) = 7.
Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на <i>m</i> полей вправо или на <i>n</i> полей влево. При каких <i>m</i> и <i>n</i> она сможет переместиться в соседнюю справа клетку?
Решите уравнение 2<i>x</i> + 3<i>y</i> + 3<i>z</i> = 11 в целых числах.
Найдите все целые решения уравнения 21<i>x</i> + 48<i>y</i> = 6.