Задача
Докажите, что уравнение 1/x – 1/y = 1/n имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда n – простое число.
Решение
Если n = pq (p, q > 1), то 1/n = 1/n–1 – 1/n(n–1) и 1/n = 1/p(q–1) – 1/pq(q–1).
Если же n – простое, то n(y – x) = xy, и значит, xy делится на n. Поскольку x < n, y делится на n: y = kn. Тогда x = kn/k+1, откуда k = n – 1, то есть имеется ровно одно решение: (n – 1, n(n – 1)).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет