Достаточно решить уравнение в неотрицательных целых числах, а потом произвольно расставить знаки. Далее рассматриваются только такие решения.

  Заметим, что  (x, y)  – решение тогда и только тогда, когда  (x + y )(x – y ) = 1.  Отсюда следует, что если  (x, y)  и  (u, v)  – решения и

s + t   = (x + y )(u + v ),  то  (s, t)  – тоже решение. Действительно,  s – t   = (x – y )(u – v ),  поэтому  (s + t )(s – t ) = 1.

  Два частных решения  (1, 0)  и  (9, 4).  Отсюда мы получаем серию решений  (x_n, y_n),  где  x_n + y_n   = (9 + 4 )ⁿ.  Докажем, что других решений нет.

  Заметим, что если  (x, y)  и  (u, v)  – решения и  x < u,  то и  y < v.

  Пусть  (u, v)  – решение, отличное от уже найденных. При этом  (9 + 4 )ⁿ < u + v   < (9 + 4 )ⁿ⁺¹  при некотором n. Тогда  (s, t),  где

s + t   = (u + v )(9 – 4 )ⁿ  – тоже решение, причём  1 < s + t   < 9 + 4 .  Значит,  1 < s < 9.  Но непосредственная проверка показывает, что решений, удовлетворяющих этому условию, нет. Противоречие.

± (x_n, ± y_n),  где  x_n + y_n   = (9 + 4 )ⁿ,  n = 0, 1, 2, 3, ...