Сначала разберём случай, когда числа x и y взаимно просты. Оба эти числа не могут быть чётными в силу предположения о взаимной простоте. Они не могут быть и нечётными: сумма квадратов двух нечётных чисел даёт остаток 2 при делении на 4 и поэтому не может быть квадратом.

  Далее будем считать, что x нечётно, а y чётно. Тогда z нечётно.

  Запишем уравнение в виде  x² = (z – y)(z + y).  Числа  u = z – y  и  v = z + y  нечётны и взаимно просты. Действительно, если они имеют общий делитель d > 1,  то на d делятся и числа  u + v = 2z  и  u – v = 2y.  Поскольку d нечётно, z и y также делятся на d. Поэтому и x² делится на d, что противоречит взаимной простоте чисел x и y.

  Следовательно, u и v – полные квадраты:  u = m²,  v = n²,  где m и n – нечётные взаимно простые числа. Отсюда  x = mn,  y = ½ (m² – n²),  z = ½ (m² + n²).   Общее решение получается из этого перестановкойxиyи умножением всех переменных на произвольное натуральное число.

{x, y} = {mnk, ½ k(m² – n²)},  z = ½ k(m² + n²),  где m, n – взаимно простые нечётные натуральные числа,  m > n,  k – произвольное натуральное число.