Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Делимость-2» для 10 класса
глава 10. Делимость-2
НазадНайти все пары целых чисел (<i>x, y</i>), удовлетворяющие уравнению 3·2<sup><i>x</i></sup> + 1 = <i>y</i>².
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Докажите, что при любом простом <i>p</i> <img align="middle" src="/storage/problem-media/60750/problem_60750_img_2.gif"> делится на <i>p</i>.
Пусть <i>n</i> – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо <i>n</i><sup>8</sup> + 1, либо <i>n</i><sup>8</sup> – 1 делится на 17.
а) Пусть <i>p</i> – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (<i>p</i> единиц) не делится на p. б) Пусть <i>p</i> > 5 – простое число. Докажите, что число 1...1 (<i>p</i> – 1 единица) делится на p.
Пусть <i>p</i> – простое число, и <i>a</i> не делится на <i>p</i>. Докажите, что найдется натуральное число <i>b</i>, для которого <i>ab</i> ≡ 1 (mod <i>p</i>).
Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – различные простые числа. Докажите, что
а) <i>p<sup>q</sup> + q<sup>p</sup> ≡ p + q</i> (mod <i>pq</i>); б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30681/problem_30681_img_2.gif"> – чётное число, если <i>p, q</i> ≠ 2.
Сумма трёх чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> делится на 30. Докажите, что <i>a</i><sup>5</sup> + <i>b</i><sup>5</sup> + <i>c</i><sup>5</sup> также делится на 30.
Пусть <i>p</i> – простое число. Докажите, что (<i>a + b</i>)<sup><i>p</i></sup> ≡ <i>a<sup>p</sup> + b<sup>p</sup></i> (mod <i>p</i>) для любых целых <i>a</i> и <i>b</i>.
Докажите, что число 30<sup>239</sup> + 239<sup>30</sup> составное.
Докажите, что 7<sup>120</sup> – 1 делится на 143.
Найдите остаток от деления 8<sup>900</sup> на 29.
Докажите, что 300<sup>3000</sup> – 1 делится на 1001.
Найдите остаток от деления 3<sup>102</sup> на 101.
Найдите остаток от деления 2<sup>100</sup> на 101.
Решите уравнение <i>x</i>² – 5<i>y</i>² = 1 в целых числах.
Решить в целых числах уравнение <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i></sub> = 1.
Решить в целых числах уравнение 3<sup><i>m</i></sup> + 7 = 2<sup><i>n</i></sup>.
Последовательность <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... натуральных чисел такова, что <i>a</i><sub><i>n</i>+2</sub> = <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>a<sub>n</sub></i> + 1 при всех <i>n</i>.
а) <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>2</sub> = 1. Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.
б) Докажите, что <i>a<sub>n</sub></i> – 22 – составное число при любом <i>n</i> > 10.
Докажите, что 11<sup><i>n</i>+2</sup> + 12<sup>2<i>n</i>+1</sup> делится на 133 при любом натуральном <i>n</i>.