Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Делимость-2» - сложность 1 с решениями

Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на <i>m</i> полей вправо или на <i>n</i> полей влево. При каких <i>m</i> и <i>n</i> она сможет переместиться в соседнюю справа клетку?

Найдите все целые решения уравнения  3<i>x</i> – 12<i>y</i> = 7.

Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?

К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Докажите, что  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>₁<i>a</i>₂...<i>a</i>_<i>n</i>–1<i>a_n</i></span>  ≡  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>_<i>n</i>–1<i>a_n</i></span> (mod 4).

Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю

  а) 10;  б) 2;  в) 5.

Какое число нужно добавить к числу  (<i>n</i>² – 1)¹⁰⁰⁰(<i>n</i>² + 1)¹⁰⁰¹,  чтобы результат делился на<i>n</i>?

Найдите остаток от деления 6¹⁰⁰ на 7.

Если  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>),  <i>n</i> – натуральное число, то  <i>aⁿ ≡ bⁿ</i> (mod <i>m</i>).

Если  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и  <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>),  то  <i>ac ≡ bd</i> (mod <i>m</i>).

Если  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и  <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>),  то  <i>a – c ≡ b – d</i> (mod <i>m</i>).

Если  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и  <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>),  то  <i>a + c ≡ b + d</i> (mod <i>m</i>).

Докажите, что  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  тогда и только тогда, когда  <i>a – b</i>  делится на <i>m</i>.

Докажите, что  <i>n</i>² + 1  не делится на 3 ни при каком натуральном <i>n</i>.