Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многочлены» для 2-9 класса - сложность 1-2 с решениями

Известно, что квадратные уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  и  <i>bx</i>² + <i>cx + a</i> = 0  (<i>a, b</i> и <i>c</i> – отличные от нуля числа) имеют общий корень.

Найдите его.

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Решить систему:

   <i>x + y + z = a,

   x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – три различных числа. Докажите, что из равенств

    <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61060/problem_61060_img_2.gif"><img width="165" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61060/problem_61060_img_3.gif">

следует, что <i>x = y = z</i> = 0.

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – три различных числа. Решите систему     <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61059/problem_61059_img_2.gif"><img width="200" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61059/problem_61059_img_3.gif">

На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторого квадратного трёхчлена. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одного квадратного трёхчлена.

Постройте многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) степени не выше 2, которые удовлетворяют условиям:

  а)   <i>f</i>(0) = 1,   <i>f</i>(1) = 3,   <i>f</i>(2) = 3;

  б)   <i>f</i>(–1) = –1,   <i>f</i>(0) = 2,   <i>f</i>(1) = 5;

  в)   <i>f</i>(–1) = 1,   <i>f</i>(0) = 0,   <i>f</i>(2) = 4.

Какие остатки дает многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161052">161052</a> при делении на многочлены вида  <i>x</i> - <i>x</i>_i?

Пусть <i>A, B</i> и <i>C</i> – остатки от деления многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) на  <i>x – a,  x – b</i>  и  <i>x – c</i>.

Найдите остаток от деления того же многочлена на произведение  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>).

Опишите явный вид многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>₁(<i>x</i>) + <i>f</i>₂(<i>x</i>) + ... + <i>f_n</i>(<i>x</i>),  где  <i>f_i</i>(<i>x</i>) – многочлены из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161050">161050</a>.

Пусть  <i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < ... < <i>x_n</i>  – действительные числа. Постройте многочлены   <i>f</i>₁(<i>x</i>),  <i>f</i>₂(<i>x</i>), ...,  <i>f_n</i>(<i>x</i>)  степени  <i>n</i> – 1,  которые удовлетворяют условиям   <i>f_i</i>(<i>x_i</i>) = 1  и   <i>f_i</i>(<i>x_j</i>) = 0  при  <i>i ≠ j</i>  (<i>i, j</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>).

Докажите тождество   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61049/problem_61049_img_2.gif">

Решите уравнение   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61048/problem_61048_img_2.gif">

При каких <i>a</i> и <i>b</i> уравнение  <i>x</i>³ + <i>ax + b</i> = 0  имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию?

Числа  <i>x, y, z</i>  удовлетворяют системе

      <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61032/problem_61032_img_2.gif"><img width="134" height="70" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61032/problem_61032_img_3.gif">

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно <i>a</i>.

Известно, что  <i>a + b + c</i> = 0,  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² = 1.  Найдите  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>nx</i>^<i>n</i>+1 – (<i>n</i> + 1)<i>x ⁿ</i>  + 1  делится на  (<i>x</i> – 1)².

При каких <i>A</i> и <i>B</i> многочлен  <i>Ax</i>^<i>n</i>+1 + <i>Bxⁿ</i> + 1  имеет число  <i>x</i> = 1  не менее чем двукратным корнем?

Выведите из теоремы <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161013">161013</a> то, что <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61014/problem_61014_img_2.gif">  – иррациональное число.

Докажите, что если  (<i>p, q</i>) = 1  и  ^<i>p</i>/_<i>q</i>  – рациональный корень многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_nxⁿ</i> + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  с целыми коэффициентами, то

  а)  <i>a</i>₀ делится на <i>p</i>;

  б)  <i>a_n</i> делится на <i>q</i>.

Докажите, что если  <i>a + b + c</i> = 0,  то   2(<i>a</i>⁵ + <i>b</i>⁵ + <i>c</i>⁵) = 5<i>abc</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²).

Докажите, что если три числа <i>a, b, c</i> связаны соотношением  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i> = ¹/_<i>a+b+c</i>,  то какие-либо два из этих чисел в сумме дают 0.