Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Последовательности и ряды» для 11 класса

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61528/problem_61528_img_2.gif">

Числа <i>P_kl</i>(<i>n</i>) определены в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>.

Докажите, что при любых <i>k</i> и <i>l</i> многочлен <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) является возвратным, то есть   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61527/problem_61527_img_2.gif">

(Определение многочленов Гаусса см. <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>.)

  Пусть <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>:   <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) = <i>P_k,l</i>(0) + <i>xP_k,l</i>(1) + ... + <i>x^klP_k,l</i>(<i>kl</i>).   а) Докажите равенства:  <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>x</i>) + <i>x^kf...

Обозначим через <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на не более чем <i>k</i> слагаемых, каждое из которых не превосходит <i>l</i>.

Докажите равенства:

  а)  <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) – <i>P</i>_{<i>k,l</i>–1}(<i>n</i>) = <i>P</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>n – l</i>);

  б)  <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) – <i>P</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>n</i>) = <i>P</i><sub><i>k,l</i>–1</sub&...

Найдите сумму  <i>S_l</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>_0,<i>l</i>(<i>x</i>) – <i>g</i>_{1,<i>l</i>–1}(<i>x</i>) + <i>g</i>_{2,<i>l</i>–2}(<i>x</i>) – ... + (–1)<i>^lg</i>_<i>l</i>,0(<i>x</i>).

Определение многочленов Гаусса <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>.

а) Определение (смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>) функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) не позволяет вычислять их значения при  <i>x</i> = 1.  Но, поскольку функции <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) являются многочленами, они определены и при  <i>x</i> = 1.  Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61523/problem_61523_img_2.gif"> б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161522">161522</a> подставить значение  <i>x</i> = 1?

Докажите следующие свойства функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) (определения функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>):

  а)  <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) = <img width="93" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61522/problem_61522_img_2.gif">,  где  <i>h_m</i>(<i>x</i>) = (1 – <i>x</i>)(1 – <i>x</i>²)...(1 – <i>x^m</i>)   (<i>h</i>₀(<i>x</i>) = 1)...

Вычислите функции <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) при  0 ≤ <i>k + l</i> ≤ 4  и покажите, что все они являются многочленами.

Определение многочленов Гаусса <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>.

Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161519">161519</a> и равенством   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_2.gif">   где

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_3.gif">   – обобщенные биномиальные коэффициенты.

Определение чисел Каталана можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?%20letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.

Пусть   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61519/problem_61519_img_2.gif">   – производящая функция последовательности <i>чисел Каталана</i>. Докажите, что она удовлетворяет равенству <div align="CENTER"><i>C</i>(<i>x</i>) = <i>xC</i>²(<i>x</i>) + 1, </div>и получите явный вид функции<i>C</i>(<i>x</i>). Определение чисел Каталана можно найти в<a href="https://problems.ru/thes.php?letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.

Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + $\displaystyle {\frac{y^2}{2!}}$ + $\displaystyle {\frac{y^3}{3!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{y^n}{n!}}$ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.

Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + <i>y</i>² + <i>y</i>³ +...+ <i>y</i>ⁿ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.

Найдите общую формулу для коэффициентов ряда<div align="CENTER"> (1 - 4<i>x</i>)^{- $\scriptstyle {\textstyle\frac{1}{2}}$} = 1 + 2<i>x</i> + 6<i>x</i>² + 20<i>x</i>³ +...+ <i>a</i>_n<i>x</i>ⁿ +... </div>

Каков знак<i>n</i>-го члена в разложении произведения<div align="CENTER"> (1 - <i>a</i>)(1 - <i>b</i>)(1 - <i>c</i>)(1 - <i>d</i> )...= 1 - <i>a</i> - <i>b</i> + <i>ab</i> - <i>c</i> + <i>ac</i> + <i>bc</i> - <i>abc</i> - <i>d</i> +... </div>(<i>n</i>= 0, 1, 2,...)?

Определите коэффициент<i>a</i>_nв разложении<div align="CENTER"> (1 + <i>qx</i>)(1 + <i>qx</i>²)(1 + <i>qx</i>⁴)(1 + <i>qx</i>⁸)(1 + <i>qx</i>¹⁶)...= <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x</i>³ +... </div>

Придумайте какое-либо взаимно-однозначное соответствие между разбиениями натурального числа на различные и на нечётные слагаемые.

Обозначим через <i>d</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на различные слагаемые, а через <i>l</i>(<i>n</i>) – на нечётные. Докажите равенства:   а)  <i>d</i>(0) + <i>d</i>(1)<i>x</i> + <i>d</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 + <i>x</i>)(1 + <i>x</i>²)(1 + <i>x</i>³)...;   б)  <i>l</i>(0) + <i>l</i>(1)<i>x</i> + <i>l</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1(1 – <i>x</i>⁵)^–1...;   в)  <i>d</i>(<i>n</i>)...

Докажите, что каждое натуральное число <i>n</i> может быть  2^<i>n</i>–1 – 1  различными способами представлено в виде суммы <i>меньших</i> натуральных слагаемых, если два представления, отличающихся хотя бы порядком слагаемых, считать различными.

На доске написано <i>n</i> натуральных чисел. Пусть <i>a_k</i> – количество тех из них, которые больше <i>k</i>. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные <i>a_k</i>. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.

Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка   (5, 3, 3, 2)  →  (4, 4, 3, 1, 1)  →  (5, 3, 3, 2).

Пусть <i>p</i>(<i>n</i>) – количество разбиений числа <i>n</i> (определение разбиений смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=16#Razbienia">здесь</a>). Докажите равенства:

<div align="center"><i>p</i>(0) + <i>p</i>(1)<i>x</i> + <i>p</i>(2)<i>x</i> '' + ...  =  (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)...(1 + <i>x^k</i> + <i>x</i>^2<i>k</i> + ...)...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>²)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1... </div> (По определению сч...

Вычислите, используя производящие функции, следующие суммы:

а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_2.gif">    б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_3.gif">    в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_4.gif">    г)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_5.gif">

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/61507/problem_61507_img_2.gif"></div>Определения многочленов Чебышева можно найти в<a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#chebysheva">справочнике</a>.

Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи  <i>F</i>(<i>x, z</i>) = <i>F</i>₀(<i>x</i>) + <i>F</i>₁(<i>x</i>)<i>z + F</i>₂(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <i>F_n</i>(<i>x</i>)<i>zⁿ</i> + ...

и последовательности многочленов Люка   <i>L</i>(<i>x, z</i>) = <i>L</i>₀(<i>x</i>) + <i>L</i>₁(<i>x</i>)<i>z + L</i>₂(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <...

Вычислите суммы а)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$${\dfrac{F_n}{2^n}}$;        б)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$${\dfrac{L_n}{2^n}}$. Здесь L_nобозначает числа Люка, смотри задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">3.133</a>.

а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">160585</a>)б) Пользуясь этой функцией, выразите <i>L_n</i> через φ и <img width="15" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61504/problem_61504_img_2.gif"> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161502">161502</a>).