Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями

Через вершину <i>А</i> остроугольного треугольника <i>АВС</i> проведены касательная <i>АК</i> к его описанной окружности, а также биссектрисы <i>АN</i> и <i>AM</i> внутреннего и внешнего углов при вершине <i>А</i> (точки <i>М, K</i> и <i>N</i> лежат на прямой <i>ВС</i>). Докажите, что  <i>MK = KN</i>.

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i>₁ < <i>AD</i> < <i>AB</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AD</i> < <i>AB</i> < <i>AA</i>₁. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AB</i> < <i>AA</i>₁ < <i>AD</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i>₁ < <i>AB</i> < <i>BC</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&gt...

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> лежит на ребре <i>CD</i> и  2<i>DF = FC</i>,  точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  AB</i> = 3<i>BS</i>  и точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  AB</i> = 2<i>BS</i>,  точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB</i>,  2<i>AB = BS</i>  и точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  S ≠ A,  AB = BS</i>.  В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> сторона основания <i>ABC</i> равна 4, угол между плоскостью основания <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116519/problem_116519_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины отрезков <i>AB</i>, <i>DK</i>, <i>AC</i> соответственно, точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>CM</i> и 5<i>ME = CE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>CM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i...

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116518/problem_116518_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i>, <i>CD</i>, <i>AC</i> соответственно. Точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>KM</i> и 2<i>ME</i> = <i>KE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>KM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i>N</i...

Сторона основания <i>ABCD</i> правильной пирамиды <i>SABCD</i> равна <img align="middle" src="/storage/problem-media/116516/problem_116516_img_2.gif">, угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116516/problem_116516_img_3.gif">. Точка <i>M</i> – середина ребра <i>SD</i>, точка <i>K</i> – середина ребра <i>AD</i>. Найдите:1) объём пирамиды <i>CMSK</i>;2) угол между прямыми <i>CM</i> и <i>SK</i>;3) расстояние между прямыми <i>CM</i> и <i>SK</i>.

В пространстве заданы три луча: <i>DA</i>, <i>DB</i> и <i>DC</i>, имеющие общее начало <i>D</i>, причём ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i> = 90°. Сфера пересекает луч <i>DA</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂, луч <i>DB</i> – в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂, луч <i>DC</i> – в точках <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂. Найдите площадь треугольника <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i><sub>2</s...

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

Все грани треугольной пирамиды – прямоугольные треугольники. Наибольшее ребро равно <i>a</i>, а противоположное ребро равно <i>b</i>. Двугранный угол при наибольшем ребре равен α. Найдите объём пирамиды.

Через центр <i>O</i> вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой <i>AO</i> и пересекающая прямую <i>BC</i> в точке <i>M</i>.

Из точки <i>O</i> на прямую <i>AM</i> опущен перпендикуляр <i>OD</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.

На грани<i> ABC </i>тетраэдра<i> ABCD </i>взята точка<i> O </i>и через неё проведены отрезки<i> OA</i>1,<i> OB</i>1и<i> OC</i>1, параллельные рёбрам<i> DA </i>,<i> DB </i>и<i> DC </i>, до пересечения с гранями тетраэдра. Докажите, что <center><i>

<img src="/storage/problem-media/111315/problem_111315_img_2.gif"> + <img src="/storage/problem-media/111315/problem_111315_img_3.gif"> +<img src="/storage/problem-media/111315/problem_111315_img_4.gif"> = </i>1<i>.

</i></center>

Докажите, что если<i> x</i>1,<i> x</i>2,<i> x</i>3,<i> x</i>4– расстояния от произвольной точки внутри тетраэдра до его граней, а<i> h</i>1,<i> h</i>2,<i> h</i>3,<i> h</i>3– соответствующие высоты тетраэдра, то <center><i>

<img src="/storage/problem-media/111314/problem_111314_img_2.gif"> +<img src="/storage/problem-media/111314/problem_111314_img_3.gif">+ <img src="/storage/problem-media/111314/problem_111314_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/111314/problem_111314_img_5.gif"> = </i>1<i>.

</i></center>

Три шара касаются некоторой плоскости и попарно касаются друг друга. Найдите радиусы шаров, если известно, что точки касания шаров с плоскостью являются вершинами треугольника со сторонами<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>.

На боковых рёбрах<i> SK </i>,<i> SL </i>и<i> SM </i>четырёхугольной пирамиды<i> SKLMN </i>, основание<i> KLMN </i>которой есть квадрат, взяты соответственно точки<i> K</i>1,<i> L</i>1и<i> M</i>1так, что<i> SK</i>1<i>:SK=</i>4<i>:</i>9,<i> SL</i>1<i>:SL = </i>1<i>:</i>3и<i> SM</i>1<i>:SM = </i>4<i>:</i>11. Плоскость, проходящая через точки<i> K</i>1,<i> L</i>1и<i> M</i>1пересекает ребро<i> SN </i>в точке<i> N</i>1. Найдите отношение<i> SN</i>1<i>:SN </i>и отношение объёма пирамиды<i> SK</i>1&l...

На боковых рёбрах<i> SA </i>,<i> SB </i>и<i> SC </i>четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>, основание которой есть квадрат, взяты соответственно точки<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1так, что<i> SA</i>1<i>:SA=</i>3<i>:</i>7,<i> SB</i>1<i>:SB = </i>2<i>:</i>7и<i> SC</i>1<i>:SC = </i>4<i>:</i>9. Плоскость, проходящая через точки<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1пересекает ребро<i> SD </i>в точке<i> D</i>1. Найдите отношение<i> SD</i>1<i>:SD </i>и отношение объёма пирамиды<i> SA</i>1<i>B</i>1<i&...

Выпуклый многогранник<i> KLMNFE </i>имеет пять граней:<i> KLE </i>,<i> MNF </i>,<i> KNFE </i>,<i> LMFE </i>и<i> KLMN </i>. Точки<i> A </i>и<i> B </i>расположены соответственно на рёбрах<i> KN </i>и<i> LM </i>так, что отрезок<i> AB </i>делит площадь параллелограмма<i> KLMN </i>пополам. Точка<i> D </i>является серединой ребра<i> EF </i>и вершиной пирамиды<i> DKLMN </i>, объём которой равен 5. Найдите объём многогранника<i> KLMNFE </i>, если известно, что объём пирамиды<i> EFAB </i>равен 8.

Выпуклый многогранник<i> ABCDFE </i>имеет пять граней:<i> CDF </i>,<i> ABE </i>,<i> BCFE </i>,<i> ADFE </i>и<i> ABCD </i>. Ребро<i> AB </i>параллельно ребру<i> CD </i>. Точки<i> K </i>и<i> L </i>расположены соответственно на рёбрах<i> AD </i>и<i> BC </i>так, что отрезок<i> KL </i>делит площадь грани<i> ABCD </i>пополам. Точка<i> M </i>является серединой ребра<i> EF </i>и вершиной пирамиды<i> MABCD </i>, объём которой равен 6. Найдите объём пирамиды<i> EKLF </i>, если известно, что объём многогранника<i> ABCDFE </i>равен 19.

Пусть проекция вершины<i> A </i>параллелепипеда<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1на некоторую плоскость лежит внутри проекции на эту плоскость треугольника<i> A</i>1<i>BD </i>. Докажите, что площадь проекции параллелепипеда в два раза больше площади проекции треугольника<i> A</i>1<i>BD </i>.

Дано изображение призмы<i> ABCA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1. Постройте изображение точки<i> M </i>пересечения плоскостей<i> A</i>1<i>BC </i>,<i> AB</i>1<i>C </i>и<i> ABC</i>1. Пусть высота призмы равна<i> h </i>. Найдите расстояние от точки<i> M </i>до оснований призмы.