Олимпиадная задача: доказательство свойства расстояний в тетраэдре (стереометрия)

Докажите свойство расстояний от точки до граней тетраэдра — олимпиадная задача стереометрии

Задача

Докажите, что если x1, x2, x3, x4– расстояния от произвольной точки внутри тетраэдра до его граней, а h1, h2, h3, h3– соответствующие высоты тетраэдра, то

++ + = 1.

Решение

Пусть M – точка внутри тетраэдра ABCD , x1– расстояние от этой точки до грани ABC , h1– высота тетраэдра, опущенная из вершины D , V – объём тетраэдра ABCD , V1– объём тетраэдра ABCM . Тогда h1– высота тетраэдра ABCM , опущенная из вершины M , поэтому