Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 класса: пропорции объёмов пирамид
Задача
На боковых рёбрах SA , SB и SC четырёхугольной пирамиды SABCD , основание которой есть квадрат, взяты соответственно точки A1, B1и C1так, что SA1:SA=3:7, SB1:SB = 2:7и SC1:SC = 4:9. Плоскость, проходящая через точки A1, B1и C1пересекает ребро SD в точке D1. Найдите отношение SD1:SD и отношение объёма пирамиды SA1B1C1D1к объёму пирамиды SABCD .
Решение
Обозначим VSABCD = V , 
= x . Плоскость диагонального
сечения SAC пирамиды разбивает её на две равновеликие пирамиды, поэтому VSABC = VSACD = 
V . Тогда
VSA1B1C1 =
· 
· 
· VSABC
= 
· 
· 
· V=
V,
VSA1D1C1 =
· 
· · VSADC
= · x · · V=
Vx.
VSA1B1D1 =
· · · VSABD
= · · x· V=
Vx,
VSB1D1C1 =
· · · VSBDC
= · x · · V=
Vx,
VA1B1C1D1 =VSA1B1C1+VSA1D1C1 = VSA1B1D1+VSB1D1C1,
V+Vx = Vx+Vx,
.
Тогда
VSA1B1C1D1 = VSA1B1C1+VSA1D1C1=
=V+Vx = (+)V=
· 
V = 
V.
Ответ
; .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь