Олимпиадная задача: радиусы сфер, касающихся плоскости и треугольника 10-11 класс
Задача
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.
Решение
Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором ∠C = 90°,
∠A = 90°, BC = 1. Тогда AB = 2,
. Обозначим через x, y и z
радиусы сфер с центрами O1, O2 и O3,
касающихся плоскости треугольника ABC в точках A, B и C
соответственно и попарно касающихся между собой внешним образом (рис.1).Прямые O2B и O3C
перпендикулярны плоскости треугольника ABC, поэтому O2B ||
O3C. Проведём через эти прямые плоскость (рис.2).
Получим касающиеся окружности радиусов y и z с центрами
O2, O3 и прямую, касающуюся этих
окружностей в точках B и C. Поскольку BC = 1, имеем уравнение
. Аналогично
и
. После очевидных преобразований получим систему уравнений 
Перемножив почленно два первых уравнения и разделив результат на третье, найдём, что
. Аналогично находим y и z.
Ответ
ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь