Олимпиадная задача по стереометрии для 10–11 классов: проекция параллелепипеда и треугольника
Задача
Пусть проекция вершины A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1на некоторую плоскость лежит внутри проекции на эту плоскость треугольника A1BD . Докажите, что площадь проекции параллелепипеда в два раза больше площади проекции треугольника A1BD .
Решение
Пусть A' , B' , C' , D' , A1' , B1' , C1' и D1' – параллельные проекции вершин соответственно A , B , C , D , A1, B1, C1и D1параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, причём точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' . Так как при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, то четырёхугольники A'B'B1'A1' , A'B'C'D' и A'D'D1'A1' – параллелограммы. Они делятся своими диагоналями B'A1' , B'D' и D'A1' на равные треугольники. Так как точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' , то каждые два из этих параллелограммов имеют ровно одну общую сторону, а их объединение (шестиугольник A1'B1'B'C'D'D1' ) есть проекция данного параллелепипеда на плоскость α . Следовательно,
S' = SA1'B1'B'C'D'D1' = 2SΔ A1'B'D'.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь