Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 10 класса - сложность 3 с решениями

В кубе <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 6, точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i> и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точка <i>K</i> расположена на ребре <i>DC</i> так, что

<i>DK</i> = 2<i>KC</i>.  Найдите

  а) расстояние от точки <i>N</i> до прямой <i>AK</i>;

  б) расстояние между прямыми <i>MN</i> и <i>AK</i>;

  в) расстояние от точки <i>A</i>₁ до плоскости треуго...

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точка <i>C</i>₁ симметрична <i>C</i> относительно <i>O</i>, <i>D</i> – середина стороны <i>AB</i>, <i>K</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ODC</i>₁. Докажите, что точка <i>O</i> делит пополам отрезок прямой <i>OK</i>, лежащий внутри угла <i>ACB</i>.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>, причём  <i>AK</i> = 2<i>KC</i>  и  ∠<i>ABK</i> = 2∠<i>KBC</i>.  <i>F</i> – середина стороны <i>AC, L</i> – проекция точки <i>A</i> на <i>BK</i>. Докажите, что прямые <i>FL</i> и <i>BC</i> перпендикулярны.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – основания высот треугольника <i>ABC</i>. Известно, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = 13,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ = 14,  <i>A</i>₁<i>C</i>₁ = 15.  Найдите площадь треугольника <i>ABC</i>.

В пространстве даны точки<i> A</i>(<i>-</i>1<i>;</i>2<i>;</i>0),<i> B</i>(5<i>;</i>2<i>;-</i>1),<i> C</i>(2<i>;-</i>1<i>;</i>4)и<i> D</i>(<i>-</i>2<i>;</i>2<i>;-</i>1). Найдите: а) расстояние от вершины<i> D </i>тетраэдра<i> ABCD </i>до точки пересечения медиан основания<i> ABC </i>; б) уравнение плоскости<i> ABC </i>; в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины<i> D </i>; г) угол между прямыми<i> BD </i>и<i> AC </i>; д) угол между гранями<i> ABC </i>и<i> ACD </i>; е) расстояние между прямыми<i> BD </i>и&lt...

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основания пирамиды можно вписать окружность.

Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из её боковых граней. Найдите объём пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно 1.

В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые грани равновелики. Найдите объём пирамиды, если известно, что один из двугранных углов при основании — прямой.

Сторона основания<i> ABC </i>пирамиды<i> TABC </i>равна 4, боковое ребро<i> TA </i>перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер<i> AC </i>и<i> BT </i>параллельно медиане<i> BD </i>грани<i> BCT </i>, если известно, что расстояние от вершины<i> T </i>до этой плоскости равно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116322/problem_116322_img_2.gif"> </i>.

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> BDD'B' </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером4<i>× </i>6<i>× </i>9так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODA + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODC + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116321/problem_116321_img_2.gif"> ODD' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> DD'A </i>и не им...

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> BB'D'D </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером3<i>× </i>4<i>× </i>8так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBA + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBC + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116320/problem_116320_img_2.gif"> OBB' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> BB'C </i>и не им...

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> ACC'A' </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером2<i>× </i>3<i>× </i>6так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCB + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCD + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116319/problem_116319_img_2.gif"> OCC' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> CC'D </i>и не им...

Точка<i> O </i>расположена в сечении<i> AA'C'C </i>прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA'B'C'D' </i>размером2<i>× </i>6<i>× </i>9так, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAB + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAD + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116318/problem_116318_img_2.gif"> OAA' = </i>180<i>^o </i>. Сфера с центром в точке<i> O </i>касается плоскостей<i> A'B'C' </i>,<i> AA'B </i>и не им...

Докажите, что сумма угловых величин всех двугранных углов тетраэдра больше360<i>^o </i>.

Докажите что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.

Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.

В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.

В тетраэдре<i> ABCD </i>ребро<i> AB </i>перпендикулярно ребру<i> CD </i>,<i> P </i>— произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки<i> O </i>до середин рёбер<i> AC </i>и<i> BD </i>равна сумме квадратов расстояний от точки<i> P </i>до середин рёбер<i> AD </i>и<i> BC </i>.

Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?

Дан трёхгранный угол с вершиной<i> O </i>и точка<i> A </i>на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят точки<i> B </i>и<i> C </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников<i> ABC </i>.

В основании пирамиды объёма<i> V </i>лежит трапеция с основаниями<i> m </i>и<i> n </i>. Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма<i> U </i>, а в сечении получается снова трапеция с основаниями<i> m</i>1и<i> n</i>1. Докажите, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115940/problem_115940_img_2.gif">=<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115940/problem_115940_img_3.gif"> </i>.

Прямые, касающиеся окружности ω в точках <i>B</i> и <i>D</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i>, высекает на окружности хорду <i>AC</i>. Через точку отрезка <i>AC</i> проведена прямая, параллельная <i>BD</i>. Докажите, что она делит длины ломаных <i>ABC</i> и <i>ADC</i> в одинаковых отношениях.

На диагонали <i>BD</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> выбрана такая точка <i>K</i>, что  ∠<i>AKB</i> = ∠<i>ADC</i>.  Пусть <i>I</i> и <i>I'</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ACD</i> и <i>ABK</i> соответственно. Отрезки <i>II'</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>X</i>. Докажите, что точки <i>A, X, I, D</i> лежат на одной окружности.

Нижним основанием четырёхугольной усечённой пирамиды является ромб<i> ABCD </i>, у которого<i> AB=</i>4и<i> <img src="/storage/problem-media/111614/problem_111614_img_2.gif"> BAD=</i>60<i>^o </i>.<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1– боковые рёбра усечённой пирамиды, ребро<i> A</i>1<i>B</i>1<i>=</i>2, ребро<i> CC</i>1перпендикулярно плоскости основания и равно 2. На ребре<i> BC </i>взята точка<i> M </i>так, что<i> BM=</i>3, и через точки<i> B</i>1,<i> M </i>и центр ромба<i> ABCD </i>проведена плоскость. Найдите двугранный угол ме...

Ребро правильного тетраэдра<i> ABCD </i>равно<i> a </i>. На рёбрах<i> AB </i>и<i> CD </i>взяты соответственно точки<i> E </i>и<i> F </i>так, что вписанная в тетраэдр сфера делит отрезок<i> EF </i>, на три части, длины которых относятся как 3:5:4, считая от точки<i> E </i>. Найдите длину отрезка<i> EF </i>.