Олимпиадная задача по стереометрии: максимальная проекция спичечного коробка

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Его проекция на любую плоскость — выпуклый шестиугольник BCDD1A1B1(возможно, вырождающийся в четырёхугольник), состоящий из трёх параллелограммов ABCD , ADD1A1и ABB1A1. Отрезки BD , DA1и A1B разбивают каждый из этих параллелогрммов на два равных треугольника, поэтому S_BCDD1A1B1=2S_{Δ BDA}1. Треугольник BDA1— ортогональная проекция треугольника, стороны которого — диагонали граней параллелепипеда, а т.к. площадь ортогональной проекции треугольника равна площади проектируемого треугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью проекций, то площадь проекции не больше площади самого треугольника, причём равенство достигается в случае, когда косинус угла равен 1, т.е. когда плоскость проекция параллельна плоскости треугольника. Следовательно, в нашем случае проекция имеет наибольшую площадь, если плоскость проекция параллельна плоскости треугольника BDA1. Тогда эта наибольшая площадь равна удвоенной площади треугольника BDA1.

Коробок-параллелепипед должен располагаться так, чтобы плоскость, проходящая через вторые концы трёх его рёбер, исходящих из одной вершины, была горизонтальна.