Олимпиадные задачи по теме «Принцип крайнего» для 8 класса

Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?

В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.

В стране Далёкой провинция называется <i>крупной</i>, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.

Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?

Рациональные числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все числа  <i>x + y</i>² + <i>z</i>²,  <i>x</i>² + <i>y</i> + <i>z</i>²  и  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>  целые. Докажите, что число 2<i>x</i> целое.

В каждой клетке таблицы 10×10 записано число. В каждой строке подчеркнули наибольшее число (или одно из наибольших, если их несколько), а в каждом столбце – наименьшее (или одно из наименьших). Оказалось, что все подчёркнутые числа подчёркнуты ровно два раза. Докажите, что все числа, записанные в таблице, между собой равны.

Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырёх из оставшихся.

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

В наборе несколько гирь, все веса которых различны. Известно, что если положить любую пару гирь на левую чашу, можно весы уравновесить, положив на правую чашу одну или несколько гирь из остальных. Найдите наименьшее возможное число гирь в наборе.

Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изюминками. Оказалось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.

Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.

Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).

Оля и Максим оплатили путешествие по архипелагу из 2009 островов, где некоторые острова связаны двусторонними маршрутами катера. Они путешествуют, играя. Сначала Оля выбирает остров, на который они прилетают. Затем они путешествуют вместе на катерах, по очереди выбирая остров, на котором еще не были (первый раз выбирает Максим). Кто не сможет выбрать остров, проиграл. Докажите, что Оля может выиграть.

На доске выписано  (<i>n</i> – 1)<i>n</i>  выражений:   <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂,  <i>x</i>₁ – <i>x</i>₃,  ...,  <i>x</i>₁ – <i>x_n</i>,  <i>x</i>₂ – <i>x</i>₁,  <i>x</i>₂ – <i>x</i>₃,  ...,  <i>x</i>₂ – <i>x_n</i>,  ...,  <i>x_n</i> – <i>x</i>_<i>n</i>–1,   где  <i>n</i&...

В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна <i>a</i>, а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна <i>b</i>. Докажите, что  <i>a = b</i>.

На кольцевом треке 2<i>n</i> велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее <i>n</i>² встреч.

Клетчатый прямоугольник разбит на двухклеточные доминошки. В каждой доминошке провели одну из двух диагоналей. Оказалось, что никакие диагонали не имеют общих концов. Докажите, что ровно два из четырёх углов прямоугольника являются концами диагоналей.

За круглым столом заседают <i>N</i> рыцарей. Каждое утро чародей Мерлин сажает их в другом порядке. Начиная со второго дня Мерлин разрешил рыцарям делать в течение дня сколько угодно пересадок такого вида: два сидящих рядом рыцаря меняются местами, если только они не были соседями в первый день. Рыцари стараются сесть в том же порядке, что и в какой-нибудь из предыдущих дней: тогда заседания прекратятся. Какое наибольшее число дней Мерлин гарантированно может проводить заседания?

(Рассадки, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми. Мерлин за столом не сидит.)

На плоскости задано <i>n</i> точек, являющихся вершинами выпуклого <i>n</i>-угольника,  <i>n</i> > 3.  Известно, что существует ровно <i>k</i> равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.

  а) Докажите, что  <i>k</i> < ^2<i>n</i>/₃.

  б) Приведите пример конфигурации, для которой  <i>k</i> > 0,666<i>n</i>.

Дано множество точек <i>O, A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A_n</i> на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы <i><b>x</b></i> и <i><b>y</b></i>, что для любой точки <i>A_i</i> выполняется равенство   <img align="abs" src="/storage/problem-media/115863/problem_115863_img_2.gif">   где <i>k</i> и <i>l</i> – некоторые целые числа.

В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.

В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.

На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?

Квадрат разрезали на конечное число прямоугольников. Обязательно ли найдётся отрезок, соединяющий центры (точки пересечения диагоналей) двух прямоугольников, не имеющий общих точек ни с какими другими прямоугольниками, кроме этих двух?

На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.

Найдите все такие тройки действительных чисел <i>x, y, z</i>, что  1 + <i>x</i>⁴ ≤ 2(<i>y – z</i>)² 1 + <i>y</i>⁴ ≤ 2(<i>z – x</i>)²,  1 + <i>z</i>⁴ ≤ 2(<i>x – y</i>)².