Олимпиадная задача по планиметрии: медианы и высоты в неравнобедренном треугольнике

  Пусть в треугольнике ABC выполнено неравенство  1 = AB < AC < BC.  Тогда медиана AA' равна высоте, опущенной из вершины B, а медиана BB' – высоте, опущенной из вершины C. Значит, расстояние от точки A' до прямой AC равно половине AA', то есть  ∠A'AC = 30°.  Аналогично  ∠B'BA = 30°.

  ПустьM– точка пересечения медиан треугольника. Поскольку  ∠A'B'M= ∠B'BA= ∠B'AM  (см. рис.), треугольникиB'A'MиAA'B'подобны, то есть (A'B')² =A'M·AA'= 3A'M².  Следовательно, уголA'MB'равен либо 120°, либо 60°.   В первом случае треугольникABC– равносторонний, что противоречит условию.   Во втором случае  ∠B'A'A= ∠ A'AB= 90°,  ∠BB'A= 30°  и  AB' = AB.  Таким образом,  AC= 2AB  и  ∠A= 120°.  По теореме косинусов находим BC=  и значит, медиана из вершиныCравна    а высота из вершины Aравна  

7 : 2.