Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» - сложность 2 с решениями
Геометрические методы
НазадИзобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты <i>x</i> и <i>у</i> которых удовлетворяют неравенству <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116892/problem_116892_img_2.gif"> .
Найдите наибольшее значение выражения <i>x</i>² + <i>y</i>², если |<i>x – y</i>| ≤ 2 и |3<i>x + y</i>| ≤ 6.
В треугольнике <i>ABC</i> высоты или их продолжения пересекаются в точке <i>H</i>, а <i>R</i> – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если ∠<i>A</i> ≤ ∠<i>B</i> ≤ ∠<i>C</i>, то <i>AH + BH</i> ≥ 2<i>R</i>.
В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub> четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i><sub>1</sub> – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i><sub>1</sub> < <i>AB</i> < <i>BC</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>, <i>ADD</i>...
В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> сторона основания <i>ABC</i> равна 4, угол между плоскостью основания <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116519/problem_116519_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины отрезков <i>AB</i>, <i>DK</i>, <i>AC</i> соответственно, точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>CM</i> и 5<i>ME = CE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>CM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i...
В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116518/problem_116518_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i>, <i>CD</i>, <i>AC</i> соответственно. Точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>KM</i> и 2<i>ME</i> = <i>KE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>KM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i>N</i...
Прямая пересекает график функции <i>y = x</i>² в точках с абсциссами <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub>, а ось абсцисс – в точке с абсциссой <i>x</i><sub>3</sub>. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116488/problem_116488_img_2.gif"> .
В четырёхугольнике<i> ABCD </i>найдите такую точку<i> E </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> EAB </i>и<i> ECD </i>было равно 1:2, а треугольников<i> EAD </i>и<i> EBC </i>— 3:4, если известны координаты всех его вершин:<i> A</i>(<i>-</i>2<i>;-</i>4),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>3),<i> C</i>(4<i>;</i>6),<i> D</i>(4<i>;-</i>1).
В четырёхугольнике<i> PQRS </i>найдите такую точку<i> T </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> RQT </i>и<i> PST </i>было равно 2:1, а треугольников<i> SRT </i>и<i> PQT </i>— 1:5, если известны координаты всех его вершин:<i> P</i>(6<i>;-</i>2),<i> Q</i>(3<i>;</i>4),<i> R</i>(<i>-</i>3<i>;</i>4),<i> S</i>(0<i>;-</i>2).
Через начало координат проведены прямые (включая оси координат), которые делят координатную плоскость на углы в 1°.
Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих прямых с прямой <i>y</i> = 100 – <i>x</i>.
Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.
В кубе <i>АВСDA'B'C'D'</i> с ребром 1 точки <i>T, Р</i> и <i>Q</i> – центры граней <i>AA'B'B, A'B'C'D</i>' и <i>BB'C'C</i> соответственно.
Найдите расстояние от точки <i>Р</i> до плоскости <i>АTQ</i>.
В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>. Найдите площадь третьего.
Два правильных многоугольника с периметрами <i>a</i> и <i>b</i> описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр третьего многоугольника.
Вася постоял некоторое время на остановке. За это время проехал один автобус и два трамвая. Через некоторое время на эту же остановку пришёл Шпион. Пока он там сидел, проехало 10 автобусов. Какое минимальное число трамваев могло проехать за это время? И автобусы, и трамваи ходят с равными интервалами, причём автобусы ходят с интервалом 1 час.
На плоскости даны точки<i> A</i>(<i>-</i>1<i>;</i>2),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>1),<i> C</i>(<i>-</i>3<i>;-</i>3),<i> D</i>(0<i>;</i>0). Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ<i> AC </i>?
На плоскости даны точки<i> A</i>(1<i>;</i>2),<i> B</i>(2<i>;</i>1),<i> C</i>(3<i>;-</i>3),<i> D</i>(0<i>;</i>0). Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ<i> AC </i>?
Докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки пространства до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.
На рёбрах<i> NN</i>1и<i> KN </i>куба<i> KLMNK</i>1<i>L</i>1<i>M</i>1<i>N</i>1отмечены точки<i> P </i>и<i> Q </i>, причём<i> <img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_2.gif">=<img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_3.gif"> </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_4.gif"> = </i>4. Через точки<i> M</i>1,<i> P </i>и<i> Q </i>проведена плоскость. Найдите расстояние от точки<i> K </i>до этой плоскости, если ребро куба равно 3
Ребро куба<i> EFGHE</i>1<i>F</i>1<i>G</i>1<i>H</i>1равно 2. На рёбрах<i> EH </i>и<i> HH</i>1взяты точки<i> A </i>и<i> B </i>, причём<i> <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_2.gif">=</i>2,<i> <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_3.gif"> = <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_4.gif"> </i>. Через точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> G</i>1проведена плоскость. Найдите расстояние от точки<i> E </i>до этой плоскости.
На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)
Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.
Две плоскости заданы уравнениями<i> A</i>1<i>x+B</i>1<i>y+C</i>1<i>z+D</i>1<i>=</i>0и<i> A</i>2<i>x+B</i>2<i>y+C</i>2<i>z+D</i>2<i>=</i>0. Пусть<i> α </i>– величина нетупого угла, образованного плоскостями. Докажите, что <center><i>
cos α =<img src="/storage/problem-media/108870/problem_108870_img_2.gif">.
</i></center>
Плоскость задана уравнением<i> Ax+By+Cz+D=</i>0, причём числа<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>и<i> D </i>отличны от нуля. Докажите, что тогда уравнение плоскости можно записать в виде<i> <img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_4.gif">=</i>1, где<i> P</i>(0<i>;</i>0<i>;p</i>),<i> Q</i>(0<i>;q;</i>0)и<i> R</i>(0<i>;</i>0<i>;r</i>)– точки пересечения плоскости с координатными осями.
Прямая<i> l </i>проходит через точку<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y<sub>o</sub>;z</i>0)параллельно ненулевому вектору<i> <img src="/storage/problem-media/108867/problem_108867_img_2.gif"> = </i>(<i>a;b;c</i>). Найдите необходимое и достаточное условие того, что точка<i> M</i>(<i>x;y;z</i>)лежит на прямой<i> l </i>.