Олимпиадные задачи по теме «Функции одной переменной. Непрерывность» для 7-9 класса - сложность 2 с решениями

Пусть  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>_<i>n</i>  – некоторые числа, принадлежащие отрезку  [0, 1].

Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что   ¹/_<i>n</i> (|<i>x – x</i>₁| + |<i>x – x</i>₂| + ... + |<i>x – x_n</i>|)  = ½.

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a</i>₉<i>x + b</i>₉. Известно, что последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₉  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...

Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что  <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif">  при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2²⁰¹¹).

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">.  Найдите  <i>f</i>(–1).

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.

В Монголии имеются в обращении монеты в 3 и 5 тугриков. Входной билет в центральный парк стоит 4 тугрика. Как-то раз перед открытием в кассу парка выстроилась очередь из 200 посетителей. У каждого из них, а также у кассира есть ровно 22 тугрика. Докажите, что все посетители смогут купить билет в порядке очереди.

Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, <i>C'</i> и <i>A'</i> – произвольные точки на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, <i>B'</i> – середина стороны <i>AC</i>.

  а) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> не больше половины площади треугольника <i>ABC</i>.

  б) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> равна четверти площади треугольника <i>ABC</i> тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек <i>A', C'</i> совпадает с серединой соответствующей стороны.

В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.

Найдите последнее число.

Существует ли кусочно-линейная функция <i>f</i>, определённая на отрезке  [–1, 1]  (включая концы), для которой  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))= – <i>x</i>  при всех <i>x</i>?

(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)

Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции<i>y</i>= 2^x?

Многочлен <i>p</i> и число <i>a</i> таковы, что для любого числа <i>x</i> верно равенство  <i>p</i>(<i>x</i>) = <i>p</i>(<i>a – x</i>).

Докажите, что <i>p</i>(<i>x</i>) можно представить в виде многочлена от  (<i>x</i> – ^<i>a</i>/₂)².

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?

Каждая из функций $f(x)$ и $g(x)$ определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?

Существует ли такая непериодическая функция $f$, определённая на всей числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство $f(x + 1)=f(x + 1)f(x)+1?$

Для всех действительных <i>x</i> и <i>y</i> выполняется равенство  <i>f</i>(<i>x</i>² + <i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(<i>y</i>²).  Найдите  <i>f</i>(–1).

Существует ли такая функция  <i>f</i>(<i>x</i>), определённая для всех действительных чисел, что  <i>f</i>(sin <i>x</i>) + <i>f</i>(cos <i>x</i>) = sin <i>x</i>?

Даны различные действительные числа <i>a, b, с</i>. Докажите, что хотя бы два из уравнений  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>) = <i>x – c</i>,  (<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>) = <i>x – a</i>,

(<i>x – c</i>)(<i>x – a</i>) = <i>x – b</i>  имеют решение.

При каких целых значениях<i>n</i>функция<div align="CENTER"> <i>y</i> = cos <i>nx</i>^.sin$\displaystyle {\dfrac{5}{n}}$<i>x</i> </div>имеет период 3$\pi$?

Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью <i>d</i>. Докажите, что  <i>d</i> > 30000.

Найдите все функции  <i>f</i>(<i>x</i>), определённые при всех действительных <i>x</i> и удовлетворяющие уравнению  2<i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(1 – <i>x</i>) = <i>x</i>².

О функции  <i>f</i>(<i>x</i>), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом  <i>a</i> > 1  функция  <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(<i>ax</i>)  непрерывна на всей прямой.

Докажите, что  <i>f</i>(<i>x</i>) также непрерывна на всей прямой.

(Продолжение задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/132796">132796</a>)

  Стоя в углу, Клайв разобрал свои наручные часы, чтобы посмотреть, как они устроены. Собирая их обратно, он произвольно надел часовую и минутную стрелки. Сможет ли он так повернуть циферблат, чтобы хоть раз в сутки часы показывали правильное время (часы при этом еще не заведены)?