Задача
Существует ли такая непериодическая функция $f$, определённая на всей числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство $f(x + 1)=f(x + 1)f(x)+1?$
Решение
Покажем, что любая функция, удовлетворяющая условиям, имеет период 3. Действительно, из уравнения следует, что $f$ не принимает значения 1. В самом деле, если $f(x)=1$, то $f(x+1)=f(x+1)+1$, что невозможно. Следовательно, $f(x+1)=\frac{1}{1-f(x)}$, поэтому, применяя последовательно это равенство, получаем $$f(x+3)=\frac{1}{1-f(x+2)}=\frac{f(x+1)-1}{f(x+1)}=1-\frac1{f(x+1)}=f(x).$$
Ответ
Нет, не существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет